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Distância entre ponto e cone.

Matemática Ensino Superior Geometria Resolução de problemas Geral Ensino Médio Números

Como posso calcular a distância entre P=(2,?1,0) e o cone x^2 + 2y^2 - z^2 = 0? Eu estou encontrando um resultado igual a zero, porém, substituindo o P na equação, a mesma não dá zero. Podem me ajudar nessa dúvida? 

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Pedro perguntou há 4 anos

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Professor Felipe P.
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Respondeu há 4 anos
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Assumindo que P = (2,1,0), pois não entendi o que é ? no seu seu enunciado.

Equação do cone: só isolei uma variável.

z^2\:=\:x^2\:+\:2y^2

Distância entre pontos:

d=\sqrt{\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-0\right)^2}

d^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-0\right)^2

trocando d^2 por f

f\:=\:\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-0\right)^2

f\:=\:x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2

substituindo z^2

f\:=\:x^2-4x+4+y^2-2y+1+x^2+2y^2

f\:=\:2x^2-4x+3y^2-2y+5

Derivando e igualando a zero (derivadas parcias):

f_x\:=\:4x-4\:=\:0\:logo\:x\:=\:1

f_y\:=\:6y-2\:=\:0\:logo\:y\:=\:2/6\:=\:1/3

Ponto crítico (1,1/3)

z^2\:=\:x^2\:+\:2y^2\:=\:1^2\:+\:2\cdot \left(1/3\right)^2\:=\:1\:+\:2/9\:=\:11/9

z\:=\:\sqrt{\frac{11}{9}}\:ou\:z\:=\:-\sqrt{\frac{11}{9}}

São dois pontos:

\left(1,\frac{1}{3},\sqrt{\frac{11}{9}}\right)\:e\:\left(1,\frac{1}{3},-\sqrt{\frac{11}{9}}\right)

 

Para ajudar na compreensão:

https://www.youtube.com/watch?v=GGbLdHuwtqo
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%2B+2y%5E2+-+z%5E2+%3D+0

Espero ter ajudado.
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