Dúvida 002

Matemática
1) Seja f(x) = 2x^2+3x+1 (a) Mostre que f tem inversa. (b) Achar a inversa, o domínio e a imagem da inversa.
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Jaime perguntou há 3 anos

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Professor David C.
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Respondeu há 3 anos

1) Seja f(x) = 2x2+3x+1

(a) Mostre que f tem inversa.

Note que

f(x) = 2(x2 + 3/2 x) +1

f(x) = 2(x2 + 2(3/4) x + 9/16 - 9/16) +1

f(x) = 2(x2 + 2(3/4) x + 9/16 ) - 1/8

f(x) = 2(x+3/4)2  - 1/8

Logo

Dom (f) = R

Im (f) = [-1/8, + infinito)

Note que f não é injetiva em todos os reais, por exemplo, f(-3/2) = 1 = f(0), logo para que f tenha inversa devemos restringir seu dominio. Segue-se que f tem inversa só para valores no intervalo [-3/4, + infinito) cuja imagem é [-1/8 , +infinito)

 

(b) Achar a inversa, o domínio e a imagem da inversa. 

Considere y = f(x), logo a inversa é uma funcao do tipo g = g(y) = x

Substituindo:

f(x) = 2(x+3/4)2  - 1/8

y = 2(g(y)+3/4)2  - 1/8

y + 1/8 = 2(g(y) + 3/4)2 

y/2 + 1/16 = (g(y) + 3/4)2 

raiz( y/2 + 1/16 ) = g(y) + 3/4

g(y) = raiz( y/2 + 1/16 ) - 3/4

 

Logo a inversa da funcao f é

f-1(x) = raiz ( x/2 + 1/16 ) - 3/4

Dom (f-1) = [-1/8, + infinito) 

Im(f-1) = [-3/4, + infinito)

 

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