Dúvida: funções e gráficos.

Professor Wesley L.

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Respondeu há 5 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Olá Isabela!

Vou tentar responder suas questões. Vamos lá!


Primeiro, esse gráfico é uma parábola. Creio que você já saiba disso hehe. Espero que você também saiba (só de olhar) que essa parábola tem a concavidade virada para baixo (concavidade é a "boca" da parábola). Imagine um índio tentando atirar uma flecha para cima com seu arco super tencionado. Pronto, o formato do arco é uma parábola. Caso você não saiba ou não se lembre, a concavidade é determinada simplesmente olhando o sinal do coeficiente que acompanha o termo quadrático (positivo indica concavidade para cima e negativo indica concavidade para baixo). No seu caso, temos -30x². Ou seja, o coeficiente é negativo (-30).


Segundo, a parábola sempre terá um vértice. Vértice é o único ponto da parábola que não possui outro ponto ao seu "lado". Novamente, imagine o índio anterior. Agora imagine que você comece a passar linhas retas cortando esse arco em duas partes, uma de cima e outra de baixo. Só há um lugar possível no arco em que você passará essa reta e terá apenas um ponto atingido. Em todas os outros lugares para passar essa linha, você atingirá o arco em dois pontos diferentes. Pois bem, esse ponto sozinho atingido é chamado de vértice.
Quando a concavidade é para cima, a parábola terá um ponto de mínima altura (imagine esse U). E quando tiver a concavidade para baixo terá um ponto de máxima altura (imagine esse símbolo aqui ?). No caso da questão, a parábola tem um ponto de altura máxima.




( I ) Pronto, agora podemos resolver sua questão! Para saber a altura máxima atingida, podemos usar uma fórmula para encontrar as coordenadas do vértice. Lembre-se de que um ponto é representado por (a, b), onde a primeira coordenada é a referente ao eixo x e a segunda ao eixo y. A fórmula é:

(-b/2a , -Δ/4a) , onde Δ é o delta

Como queremos saber qual a altura, precisamos apenas calcular a coordenada y desse vértice. Ela é:

-(100² - 4*(-30)*0)/4*(-30) = 10000/120 = 1000/ 12 = aproximadamente 83,33

Legal, então temos que a altura máxima atingida pelo projétil é 83,33 metros.





( II ) Agora falta a gente calcular quanto tempo o projétil permanece no ar. Vamos a isso:

Vou supor que você saiba sobre o plano cartesiano. Pois bem, imagine o eixo x no plano cartesiano. Agora imagine que esse eixo x seja o nosso chão. Pense bem: o que significa "o projétil permanece no ar"? Quer dizer que ele está longe do chão, certo? Agora imagine: o que significa "o projétil atingir o chão"? Significa que ele acertou o eixo x (nosso chão)! Certo?

Quando que algum gráfico atinge o chão? Em outras palavras, quando que o gráfico atinge o eixo x? Quando o valor do eixo y é igual a zero, certo?

É isso! precisamos saber quando que o eixo y é igual a zero nessa equação. Ou seja, precisamos encontrar as raízes da equação.

-30x² +100x = 0

Você pode usar o método que considerar melhor para encontrar as raízes. Nesse caso, eu usarei uma fatoração:

Como o x está nas duas parcelas, vamos fatorá-lo (colocar em evidência):

x * (-30x + 100) = 0

Transformamos uma soma em um produto (que é o que a fatoração faz!). Você sabe quando que um produto é zero? Apenas quando ao menos um dos fatores é zero. No nosso caso, temos os fatores x e (-30x + 100). Então o produto é zero quando x=0 ou quando (-30x + 100) = 0.

Se -30x + 100 = 0, então x = 10/3 = aproximadamente 3,33.

Por fim, temos que o x representa o tempo em segundos (conforme sua questão). O projétil estava no chão no tempo x=0, nesse mesmo instante foi lançado ao ar e depois voltou ao chão no tempo x=3,33. Portanto, o projétil permaneceu no ar desde o tempo x=0 até x=3,33. Ou seja, ele permaneceu 3,33 segundos no ar.


Se você fosse desenhar esse gráfico à mão, você teria que marcar o vértice no plano cartesiano, depois marcar os pontos correspondentes às duas raízes e depois desenhar o arco do índio passando por esses pontos :)




Pronto! A questão está resolvida. Para ver a foto da parábola, sugiro que você acesse o site aqui e digite a equação (ou pode olhar no link que o colega Julian mandou).

Espero que eu tenha ajudado você a aumentar seu entendimento, ainda que só um pouquinho!

Caso você tenha ainda alguma dúvida, faça uma nova pergunta que responderei alegremente!

Professora Djerly S.

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Respondeu há 5 anos

Derivando y=-30x²+100x teremos y´=-60x+100

Sabemos que no ponto em que a derivada for igual a zero a função terá um ponto de máximo.

Então,

0=-60x+100
60x=100
x=100/60
x=10/6

Ou seja, quando x=10/6 a altura máxima do projetil será atingida e será:

y=-30(10/6)²+100x(10/6)

y=-30x(100/36)+(1000/6)

y=-3000/36+1000/6

y=-500/6+1000/6

y=500/6

A altura máxima atingida é 500/6 ou aproximadamente 83,33 metros

Agora basta encontrar as raizes da função y.

y=-30x²+100x

0=-30x²+100x

0=x(-30x+100)

já que temos um multiplicação, então, x=0 ou -30x+100=0.

Uma raiz é x=0.

-30x+100=0
100=30x

100/30=x

10/3=x é a outra raiz. Aproximadamente 3,33.

Marque no eixo x os valores 0 e 3,33 que são as raízes e no plano cartesiano marque o ponto do vértice (1,66; 83,33) ou (10/6; 500/6). Agora é só traçar a parábola para baixo.

https://www.geogebra.org/graphing

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-30x%C2%B2%2B100x