Duvida lucro maximo.

Boa tarde Ana Maria.

Na verdade acho que este exercício está com problema.

Achei o enunciado dele em um concurso de Professor

http://www.makiyama.com.br/cefetsvs/015.pdf

E em um livro de Cálculo na parte de aplicação de DERIVADAS.

O nome do livro é Cálculo - Função de uma e várias variáveis

Autores: Pedro A. Morettin; Samuel Hazzam e Wilton de O. Bussab

O exercício é o 69 e está na página 183, capítulo 6. 

Enfim, o gabarito aponta a resposta R$ 860,00, veja

https://clickexatas.files.wordpress.com/2013/06/lista_calculo_exercicios_aplicacoes.pdf

No entanto, esse valor, provavelmente, é referente ao Lucro e não ao Preço.

Mesmo considerando que o exercício está apresentado de maneira incorreta.

Vou apresentar a resolução (Na verdade vou descobrir se R$ 860,00 é referente ao Lucro ou ao Preço):

Primeiramente vamos construir a função Lucro, L(x).

O lucro de uma empresa é a receita que esta obtém pela quantidade de produtos vendidos menos o valor gasto para produzir tais produtos.

Matematicamente,

L(x) = R(x) - C(x)

C(x) = 500 - 8x + x²

No entanto, o exercício não dá a função R(x), mas ela é fácil de ser construída.

Se vendermos x produtos, então a Receita, R(x) será dada pela quantidade de produtos vendidos (demanda) vezes o preço de venda, P, ou seja,

R(x) = P(x).x

R(x) = (-0,2x+900).x

R(x) = -0,2x² + 900x

Agora, conseguimos montar a função L(x)

L(x) = R(x) - C(x)

L(x) = -0,2x² + 900x - (500 - 8x + x²)

L(x) = -0,2x² + 900x - 500 + 8x - x²

Juntando os termos semelhantes e colocando x² à esquerda, temos

L(x) = -1,2x² + 908x -500

Como L(x) é uma função do 2° grau com concavidade para baixo, encontrar o valor de máximo da função significa encontrar o valor do x do Vértice

A fórmula para encontrar o Xv é

Xv = -b/2a

b = coeficiente de x = 908
a = coeficiente de x² = -1,2

Portanto,

Xv = -908/-2.1,2 => Xv = 378,33.

No entanto, vale salientar que, como a produção é limitada a 200 unidades, então 

0 < ou = x < ou = 200

Ou seja, x é no máximo 200.

Temos que

L(x) é crescente de 0 até 378,33;

L(x) é descrescente de 378,33 até 756,1156

Portanto, o valor máximo no intervalo de 0 até 200 é justamente em x = 200.

Para x = 200, temos

R(200) = -0,2.200 + 900

R(200) = -40 + 900 = R$ 860,00

Isto significa que o preço deve ser R$ 860 / 200 = R$ 4,30.

Nesse caso, nem é o LUCRO que é R$ 860 e sim a RECEITA, que são coisas totalmente diferentes.

O preço, que é a pergunta, é de R$ 4,30.

Espero ter ajudado.

Não sei de onde pegou este exercício, mas ele é trabalhoso mesmo.