Duvida pa e pg

Matemática Ensino Médio ENEM Ensino Fundamental Reforço Escolar

Encontre o valor da soma dessa progressão:
(1/2) + (2/2^2) + (3/2^3) + (4/2^4) + ....

Gabarito é 2

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Ramon perguntou há 3 anos

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Professora Elis P.
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Respondeu há 3 anos
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Ramon,

Soma da PG = S

S = (1 / 2) + (2 / 22) + (3 / 23) + (4 / 24) + ...

Vamos reescrever a soma original como sendo:

S = (1 / 2) + (1 / 22  + 1 / 22) + (1 / 23+ 1 / 23 + 1 / 23) + (1 / 24 + 1 / 24 + 1 / 24 + 1 / 24)....

Agora se reorganizarmos essas somas teremos:

S = (1 / 2 + 1 / 22  + 1 / 23 + 1 / 24 + ....) + (1 / 22 + 1 / 23 + 1 / 24 + ...) + ( 1 / 23 + 1 / 24+ ...) + (1 / 24 +....) + ...

Repare que ao reorganizar, temos o somatório de uma PG infinita em cada parêntese, e cada uma com um termo inicial diferente, porém todas com a mesma razão 1/2.

Soma da PG infinita = a1 / (1 – q)

Neste caso = a1 / (1 – (1 /2)) = a1 / (1 / 2) = a1 . 2

Logo a soma de cada um dos parênteses será a1 . 2

S = (1 / 2 . 2) + (1 / 22 . 2) + (1 / 23 . 2) + (1 / 24 . 2) + ...

S = 1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 + ...

Novamente caímos na soma de uma PG infinita cujo 1º termo é 1 e o somatório é a1 . 2 (já que a razão é 1/2)

S = 1 . 2 = 2

Espero ter ajudado.

Fica com Deus!

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Professor Victor G.
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Respondeu há 3 anos

Olá Ramon.

primeiro, coloque em evidencia 1/2 na sequência: 1/2( 1 + 2/2 + 3/2^2 + ...)

reescreva os termos : 1/2 [ 1 + (1/2+1/2) + (2/2^2 + 1/2^2) + (3/2^3 + 1/2^3)+ ...] .

após isso, reagrupe os termos: 1/2 [1 + (1/2 + 1/2^2 + 1/2^3+...) + (1/2 + 2/2^2 + 3/2^3 + ...)]  perceba que o resultado em negrito corresponde a sequencia original do problema, e a sequência em itálico é uma pg infinita de razao 1/2. se a soma da sequência é S, temos:

S = 1/2 [1 + (1/2 + 1/2^2 + 1/2^3+...) + S] -> S - S/2 = [1 + (1/2 + 1/2^2 + 1/2^3+...)] -> S/2 = [1 + (1/2 + 1/2^2 + 1/2^3+...)

depois disso, só calcular a soma da pg infinita e substituir para achar o resultado.

espero ter ajudado!

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