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Matemática EM

  1. Um prisma triangular regular tem a aresta da base medindo 10 cm e altura medindo 12 cm. Em quanto se deve aumentar a sua altura, em centímetros, conservando-se a mesma base, para que a área lateral do novo prisma seja igual à área total do prisma dado?
  2. Determine o volume de um cone equilátero, cuja geratriz mede 2?3 cm.
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Maria perguntou há 3 anos

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Professora Karine C.
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Respondeu há 3 anos

O prisma é formado por 4 retângulos e 2 prismas, a área total é a soma da área de cada face

Atot = (40x34) + 2(40x15) + (40x16) + 2[(34+16) x 12]/2 
Ator = 1360 + 1200 +640 + 600
Atot = 3800 cm²

O volume do prisma é dado pelo área da base x altura do prisma (H)

V = Atrapezio x H
V = [(34+16)x12]/2 x 40
V = 12000 cm³

Densidade = massa / volume
m = d x V
m = 7,5 g/cm³ x 12000 cm³
m = 90.000 g ou 90kg 

1 - O exercício quer que o prisma triangular tenha a mesma área que o prisma reto 

Areto = Atriangular x Hnova
Hnova = 3800 / [(bxh)/2]
Hnova = 345,45 

Aumento de altura = Hnova - H = 345,45 - 40 = 305,45 cm

2 - O volume do cone equilatero é dado por  V = (? x r³ ?3) / 3 

A geriatriz de um triângulo equilátero é dada por g = 2r

Calculando o raio

r = g/2 = 23/2 = 11,5 cm

V = [? x (11,5³) x ?3] / 3 

V = 2.758,56 cm³

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Professora Bruna S.
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Respondeu há 3 anos

Boa noite Maria,

Na primeira questão, sabe-se que o volume de um prisma regular pode ser calculado por:

V = Ab . h

sendo, V = volume, Ab = Área da base e h = altura do prisma.

Como a base é um trapézio, podemos calcular a área da base por:

Ab = (B + b) . h/2

sendo B = base maior do trapézio, b = base menor do trapézio e h = altura do trapézio.

Nós não sabemos a altura do trapézio, mas podemos descobrir através do teorema de Pitágoras. Separando um triangulo retângulo da lateral do trapézio da base, temos como dado no exercício a hipotenusa de 15 cm e o cateto menor pode ser encontrado subtraindo a base menor da base maior e dividindo por 2:

c = (34-16)/2 = 9cm

Voltando ao teorema de Pitágoras para encontrar a altura do trapézio, temos:

15^2 = 9^2 + h^2

resolvendo temos: h = 12cm.

Agora podemos encontrar a área da base do prisma:

Ab = (34 + 16) . 12/2  =  300 cm2

e consequentemente, o volume:

V = 300 . 40  =  12.000 cm3

Já a área superficial do sólido é a soma das áreas de todas as faces (é necessário observar que são 6 faces ao total). Para calcular a área de um retângulo, usamos:

Ar = b . h

sendo Ar = área do retângulo, b = base do retângulo e h = altura do retângulo. Calculando as áreas dos retângulos separadamente:

Ar1 = 16 . 40 = 640 cm2

Ar2 = 34 . 40 = 1.360 cm2

Ar3 = 15 . 40 = 600 cm2 (esse retângulo se repete, portanto, precisamos multiplicá-lo por 2 no calculo da área total).

Uma vez que a área do trapézio já é conhecida, precisamos considerar que ele também se repete e lembrar de multiplicá-lo por dois no calculo da área total também). Assim, temos como área total:

At = 640 + 1.360 + (600 . 2) + (300 . 2)  = 3.800 cm2

A massa do elemento pode ser encontrado usando:

m = d . V

onde m = massa, d = densidade e V = volume do prisma (precisamos sempre lembrar de observar se todas as unidades de medidas estão iguais). Assim:

m = 7,5  . 12.000  =  90.000 g

______________________________________________________________________________-

No ex.1, antes de qualquer coisa precisamos saber qual a área total do prisma dado. Para isso precisamos saber a área da base e a área lateral. Levando em consideração que são triângulos, podemos encontrar suas áreas por:

At = (b . h)/2

sendo At = área do triângulo, b = base do triângulo e h = altura do triângulo. Para prosseguirmos com o cálculo da área do triângulo da base, precisamos saber qual a sua altura. Por se tratar de um prisma triangular regular, sabemos que sua base é um triângulo equilátero. Ao dividi-lo ao meio, temos um triângulo retângulo de hipotenusa = 10cm e cateto menor = 5cm. Com esses dados, podemos usar Pitágoras para encontrar o cateto maior (que nesse caso é a altura do triangulo da base que estamos procurando):

10^2 = h^2 + 5^2 

isolando o h, temos:

h = 8,66cm

Com esse dado podemos calcular a área do triangulo da base:

At(1) = (10 . 8,66)/2  =  43,3 cm2

Ahora precisamos da área do triangulo da face lateral. Porém, precisamos da altura deste triangulo também. Isso pode ser calculado aplicando Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura do prisma (cateto maior) x apótema da base (cateto menor) x altura do triângulo da face lateral (hipotenusa). O apótema corresponde a 1/3 da altura do triângulo da sabe. Assim:

h^2 = 12^2 + (8,66/3)^2

calculando temos:

h = 12,34cm

Agora podemos encontrar a área de um dos triângulos laterais:

At(lat) = (10 . 12,34) / 2 = 61,7cm2

e a área total do prisma, lembrando que a area do triangulo lateral se repete 3 vezes:

At = (61,7 . 3) + 43,3  =  228,4 cm2 

O exercício solicita a nova altura para que a área lateral (Alat) seja igual a Area totl (At). Lembrando que a Area lateral é composta por tres triângulos, podemos escrever:

3 . [(b . h)/2] = At

substituindo:

3 . [(10 . h)/2] = 228,4

Resolvendo temos que a nova altura para que as condições do exercício sejam satisfeitas deve ser:

h = 15,23cm 

_____________________________________________________________-

No ex.2, supondo que a geratriz mede 2raiz3cm, precisamos usar a fórmula de volume de cone regular:

V = 1/3 . pi . r^2 . h

sendo V = volume, r = raio da base e h = altura do cone, porém nao temos o valor do raio da base a da altura, mas podemos descobrir. O exercício nos diz que trata-se de um cone equilátero, portanto pelas suas propriedades sabemos que o diâmetro da base é igual à geratriz. Portanto, se o diâmetro é 2raiz3cm, o raio terá que ser

r = raiz3cm.

A altura podemos encontrar aplicando pitágoras no triângulo retângulo formado entre o raio da base (cateto menor), a altura do cone (cateto maior) e a geratriz (hipotenusa). Assim:

(2raiz3)^2 = (raiz3)^2 + h^2

calculando temos:

h = 3cm

Agora que temos todos os dados, podemos retornar à formula do Volume:

V = 1/3 . pi . (raiz3)^2 . 3  =  3pi cm.

 

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