Edo - cálculo (derivadas)

Professor Davi B.

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Respondeu há 3 anos

Basta substituir a solução y = xˆr nas equações diferenciais:

r(r-1)xˆr + 4rxˆr + 2xˆr = 0

r(r-1)xˆr - 4rxˆr + 4xˆr = 0

que, isolando xˆr, com x > 0, se transformam em

r(r-1) + 4r + 2 = 0

r(r-1) - 4r + 4 = 0

que podem ser reescritas como

rˆ2 + 3r + 2 = 0

rˆ2 - 5r + 4 = 0

e, basta encontrar as raízes dessas equações.

Professor Pedro B.

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Respondeu há 3 anos

Boa tarde Stella, tudo bem?

a. Para começar, como foi dado que queremos que as soluções desse problema como sendo y = x^r e x > 0, então começaremos calculando as derivadas primeira e segunda de x^r. Como sabemos:

(x^r)' = rx^r-1 

(x^r)'' = r(r - 1)x^r-2 .

Sendo assim, dada a EDO de segunda ordem (x²)y'' + 4xy' + 2y = 0, e de posse do que foi calculado, obtemos x²(r(r - 1)x^r-2 ) + 4x(rx^r-1) + 2x^r = 0, assim, apenas simpliciando a expressão, obtemos r(r - 1)x^r +4x^r +2x^r =0, ou seja, x^r (r(r-1) + 4r +2) = 0. Já que x > 0, devemos ter (r(r - 1) +4r +2) = 0, que é uma equação do segundo grau cujas raízes são dadas por r = -1 e r = -2.

b. Assim, como no exercício anterior, já que já calculamos as derivadas de x^r, vamos apenas substituir na expressão do item (b) e resolver de maneira análoga à anteiror. Da EDO obtemos:

(x²)(r(r - 1)x^r-2) - 4x(rx^r-1) + 4x^r = 0

r(r - 1)x^r - 4rx^r +4x^r  = 0

x^r(r(r - 1) - 4r +4) = 0.

Novamente, como x > 0, devemos ter (r(r - 1) - 4r +4) = 0, que resolvendo pelo seu método favorito, encontramos r = 1 e r = 4.

Espero ter ajudado! =)