Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação da circunferência com centro no eixo X e tangente a ambas as retas x-y=0 e x-y-4=0.

Professor Marco A.

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Respondeu há 10 anos

Oi Juliana, conforme falamos, cheguei em ( x - 2 )² + y² = 2.

A resolução foi a seguinte (vou apenas escrever, mas aconselho você a desenhar as duas retas paralelas e o círculo entre elas, para ficar mais fácil o entendimento).

Primeiro, podemos calcular a distância entre as retas usando a fórmula:

d = | c1 - c2 | / sqrt( a² + b²)
onde:
* a = 1, b = -1, se referem aos coeficientes da equação da reta que acompanham x e y, respectivamente;
* c1 e c2 se referem aos termos independentes de cada uma das equações;
* sqrt se refere à raiz quadrada do número entre parênteses

Substituindo os valores, encontramos d = 2 sqrt(2)
Dessa forma, descobrimos que o diâmetro do círculo é d = 2 sqrt(2) e que, portanto, seu raio vale R = sqrt (2).

Agora, vamos à parte 2 (estou mantendo a minha resolução original, mas nessa parte recomendo a solução mais simples do professor Jairo Moura):

Se você fez o desenho, vai reparar que ambas as retas possuem inclinação de 45º. Além disso, se ligarmos os dois pontos de tangência por um segmento, este segmento formará também um ângulo de 45º com o eixo horizontal.

Dessa forma, você terá um triângulo isósceles com dois ângulos de 45º, e com os três vértices distribuídos da seguinte maneira:

* um vértice na origem;
* outro vértice em um dos pontos de tangência;
* e outro vértice no centro Xo da circunferência.

Daí, você pode obter que a coordenada x de um dos pontos de tangência vale exatamente Xo/2. E, não bastasse isso, como este ponto está sobre a reta x - y = 0, você obtém que, neste ponto de tangência: ( x, y ) = ( Xo/2, Xo/2 ).

E, para finalizar, como este ponto de tangência também pertence à circunferência, ele deve obedecer à equação: (x - Xo)² + y² = R².

Dessa forma, teremos:

( Xo/2 - Xo )² + ( Xo/2 )² = [ sqrt (2) ]²

De onde vem que Xo = 2.

Logo, a equação da circunferência é: ( x - 2 )² + y² = 2.

Se precisar de ajuda em qualquer trecho das passagens, é só dar um grito que tento ajudar.
Abs,
Marco

Professor Jairo M.

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Respondeu há 10 anos

As retas x - y = 0 e x - y - 4 = 0 são paralelas. x - y = 0 é a bissetriz dos quadrantes ímpares e x - y - 4 = 0 passa pelos pontos (0, -4) e (4, 0). Como o centro está sobre o eixo X, ele é ponto médio de (0,0) e (4,0) ou seja C(2 ,0). Usando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, tomando a reta x - y = 0 por exemplo: d = | ax + by + c|/√(a² + b²) ==> d = | 1(2) - 1(0) + 0|/√(1² + 1²) ==> d = 2/√2 ==> racionalizando, temos d = √2, que é o RAIO da circunferência . A Equação da Circunferência será ( x - 2)² + (y - 0)² = (√2)²== > x² - 4x + 4 + y² = 2 ==> Finalmente: x² - 4x + y² + 2 = 0 é a equação da circunferência.
Para maiores esclarecimentos, coloco-me a disposição.