Equações Diferenciais

Professor Marcos F.

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Respondeu há 9 anos

Boa noite Pablo.
A Lei do resfriamento de Newton propõe, a respeito da condução do calor, um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente onde está posto, aceita três hipóteses básicas:

A temperatura T=T(t) depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo.

A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência.

A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o maio ambiente.

Montagem da EDO: Assumiremos verdadeiras as hipóteses acima, observando que:

dT/dt = -k(T-Tm)

onde T=T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura constante do meio ambiente, T-Tm é a diferença de temperatura e k é uma constante que depende do material com que o corpo foi construido, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.

Resolução da EDO: Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em:

dT/(T-Tm) = -k dt

Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, teremos:

Ln(T-Tm) = -kt + ko

Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes embutidas em uma só, teremos:

T(t)-Tm = C exp(-kt)

logo, a solução da EDO será:

T(t) = Tm + C exp(-kt)

Quando temos a temperatura inicial do corpo é T(0)=To, então podemos obter a constante C que aparece na solução, pois:

To = Tm + C

assim

C = To-Tm

e a solução do PVI:

dT/dt = -k(T-Tm), T(0) = To

será
T(t) = Tm + (To-Tm) exp(-kt)

Substituindo os dados do problema:
T(0) = 100, T(10) = 70 e T(20) = 50,

100 = Tm + Cexp(-k.0)  C= 100 - Tm

70 = Tm + (100-Tm)exp(-10k) ? exp(-10k)= (70 - Tm)/ (100-Tm) => -10k = ln[(70 - Tm)/(100-Tm)] eq. I

50 = Tm + (100-Tm)exp(-20k) ? exp(-20k)= (50 - Tm)/(100-Tm) => -20k = ln[(50 - Tm)/(100-Tm)] eq.II

Daí é possível se obter a resposta.

Se desejar, escreva para marcosfatt@yahoo.com.br

Sds. Marcos