Boa noite Pablo.
A Lei do resfriamento de Newton propõe, a respeito da condução do calor, um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente onde está posto, aceita três hipóteses básicas:
A temperatura T=T(t) depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo.
A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência.
A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o maio ambiente.
Montagem da EDO: Assumiremos verdadeiras as hipóteses acima, observando que:
dT/dt = -k(T-Tm)
onde T=T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura constante do meio ambiente, T-Tm é a diferença de temperatura e k é uma constante que depende do material com que o corpo foi construido, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
Resolução da EDO: Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em:
dT/(T-Tm) = -k dt
Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, teremos:
Ln(T-Tm) = -kt + ko
Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes embutidas em uma só, teremos:
T(t)-Tm = C exp(-kt)
logo, a solução da EDO será:
T(t) = Tm + C exp(-kt)
Quando temos a temperatura inicial do corpo é T(0)=To, então podemos obter a constante C que aparece na solução, pois:
To = Tm + C
assim
C = To-Tm
e a solução do PVI:
dT/dt = -k(T-Tm), T(0) = To
será
T(t) = Tm + (To-Tm) exp(-kt)
Substituindo os dados do problema:
T(0) = 100, T(10) = 70 e T(20) = 50,
100 = Tm + Cexp(-k.0) C= 100 - Tm
70 = Tm + (100-Tm)exp(-10k) ? exp(-10k)= (70 - Tm)/ (100-Tm) => -10k = ln[(70 - Tm)/(100-Tm)] eq. I
50 = Tm + (100-Tm)exp(-20k) ? exp(-20k)= (50 - Tm)/(100-Tm) => -20k = ln[(50 - Tm)/(100-Tm)] eq.II
Daí é possível se obter a resposta.
Se desejar, escreva para marcosfatt@yahoo.com.br
Sds. Marcos
Aulas particulares
