Equações - não consigo compreender, podem me ajudar?

Matemática Ensino Superior Ensino Médio
Considere o sistema de equações abaixo, no qual a é um número real: 
 
 
\left\{\begin{array}{l}(x-a)^2-y^2=(a+1)^2\\x^2+y^2=1\end{array}\right.
 
Como visto um par ordenado (x,y)\in\mathbb{R}^2 será solução do sistema acima se, e somente se, ele tornar verdadeiras as duas igualdades. Por exemplo, no sistema acima, o ponto $(-1,0)$ é uma solução, qualquer que seja o valor de $a\in\mathbb{R}$. Vejamos, substituindo $(-1,0)$ nas equações, temos:
 
(x-a)^2-y^2=(-1-a)^2-0^2=(-1)^2-2(-1)a+a^2=
=1+2a+a^2=(a+1)^2
x^2+y^2=(-1)^2+0^2=1
 
Assim, temos (x-a)^2 - y^2 = (a+1)^2 e x^2+y^2=1, portanto as duas igualdades são verdadeiras e, assim, (-1,0) é solução do sistema. Note que outras soluções podem existir. Por exemplo, para a=\frac{1}{2}, temos pelo menos mais duas soluções, os pontos \left(1/2, \sqrt{3}/2\right) e  \left(1/2, \sqrt{3}/2\right).
 
(a) Para que valores de a\in\mathbb{R} o sistema possui apenas um par ordenado (x,y)\in\mathbb{R}^2 como solução? 
(b) Para que valores de a\in\mathbb{R} o sistema possui exatamente dois pares ordenados (x,y)\in\mathbb{R}^2 como solução?
(c) Para que valores de a\in\mathbb{R} o sistema possui exatamente três pares ordenados (x,y)\in\mathbb{R} como solução?
(d) Existem algum valor de a\in\mathbb{R} para o qual o sistema tenha mais de três pares ordenados como solução?
 
 
Atenção: Para entender quantas soluções tem o sistema, não basta estudar separadamente os valores de x ou de y que resolvam as equações. É necessário pensar quantos pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 existem tornando verdadeiras as igualdades. Por exemplo, ao resolver o sistema eliminando o y para obter um valor de x, o x obtido pode não conduzir a algum valor possível para y.
 
Dica: Lembre-se de que \sqrt{(a+2)^2} não é necessariamente igual a a+2. Por exemplo, se a=-3, temos \sqrt{(a+2)^2}=\sqrt{(-3+2)^2}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1. A igualdade correta, que sempre é verdadeira e que você deve utilizar caso apareça na solução, é \sqrt{(a+2)^2}=|a+2|.
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Luana perguntou há 4 anos

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Professor Leonardo L.
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Respondeu há 4 anos

Luana, vamos olhar para a segunda equação; através dela podemos isolar o y^2, ficando então:

y^2 = 1 - x^2, a partir deste resultado podemos concluir que o valor de x tem que variar de -1 a 1, pois o y^2 não pode ser um número negativo, visto que nenhum número real ao quadrado resulta em número negativo. Então, escrevendo esta condição de x, temos :  |x|\leq1

Substituindo agora o y^2 isolado na primeira equação, temos:

(x-a)^2 - 1 + x^2 = (1+a)^2 cujas soluções serão:

 x = a+1 , x = -1.

Sendo assim, vemos que sempre haverá um x tal que haverá uma solução para y, no caso o x=-1. Se substituírmos este valor na equação de y ao quadrado, temos que y valerá 0, portanto temos nosso primeiro par ordenado (1,0).

Para que haja somente um par ordenado, precisamos de um a, que não pertença ao domínio de x, este intervalo na verdade é a união de dois: a  \in (-\infty, -2) U (1, +\infty). Neste intervalo teremos somente um x válido, que resultará em y=0, portanto somente um par ordenado. Esta é a resposta do item A.

Para o item B, precisamos de um a tal que faça com que obtenhamos um x que resulte em um valor único em y, mas para que y resulte em um único valor, seu resultado tem que ser 0, portanto usando este resultado:

y^2 = 1 - x^2 = 0, temos que x pode ser -1 ou 1, como nossa solução anterior da equação um nos mostra que já temos o x=-1, queremos o x=1, e para isso devemos escolher o a adequado:

x = a + 1 = 1a neste caso tem que ser zero. Então para o item B, temos que quando a=0, o x será igual a 1 e -1, o que resultará em dois pares ordendados, (1, 0) e (-1, 0), portanto esta é a resposta do item B.

Para o item C, analisaremos o intervalo ainda não analisado de a, que é [-2, 0) U (0, 1), para qualquer valor de a nesse intervalo, x cumprirá sua condição, |x|\leq1, portanto, teremos y>0, resultando assim em dois valores diferentes de y, se temos dois valores diferentes de y para um mesmo x, já temos dois pares ordenados, juntando com o outro par ordenado para x=-1, teremos três pares ordenados, portanto esta é a nossa resposta para o item C, o intervalo citado acima para a.

Agora, o último item. Perceba que já analisamos todo o espaço real possível para a, e somente achamos um máximo de três pares ordenados para x e y, portanto, não há a que faça com que o sistema possua mais de três pares ordenados. E esta é a resposta do item D.

 

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