Estou com dúvida nesta questão - não consigo desenvolver

Use os multiplicadores de Lagrange para provar que o triângulo com área máxima e perímetro constante 2p é equilátero. Use a fórmula de Heron de Alexandria:


A=√(p((p-x)(p-y)(p-z)) 


onde p é o semiperímetro do triângulo, ou seja,


2

Gabriela P.
Gabriela
perguntou há 3 semanas

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Professor Luciano R.
Respondeu há 3 semanas
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Veja que maximizar A é o mesmo que maximizar A^2, então podemos ignorar a raiz. Considere f(x,y,z) = p(p-x)(p-y)(p-z), a função que queremos maximizar. Ela está sujeita a (x+y+z)/2 = p (estamos fixando um perímetro), então considere g(x,y,z) = (x+y+z)/2 - p = 0.
A função de Lagrange fica L(x,y,z,l) = f(x,y,z)-l*g(x,y,z) = p(p-x)(p-y)(p-z)+l*((x+y+z)/2 - p)
Para encontrarmos o máximo segundo o método de Lagrange, precisamos igualar o gradiente de L a zero. Em particular, precisamos ter

L_x = -p(p-y)(p-z)+l/2 = 0
L_y = -p(p-x)(p-z)+l/2 = 0
L_z = -p(p-x)(p-y)+l/2 = 0


As duas primeiras equações nos dão -p(p-y)(p-z)+l/2 = -p(p-x)(p-z)+l/2 => x = y
Analogamente, as duas últimas nos dão que y = z.

Assim, o máximo ocorre quando x = y = z. Ou seja, quando todos os seus lados são iguais e temos então um triângulo equilátero.

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