Eu não consigo resolver uma questão de análise combinatória?

Para resolver a questão da pintura das 5 regiões do Brasil com 7 cores distintas, permitindo repetir uma cor no máximo uma vez, precisamos considerar como isso pode ser feito.

1. Escolha das Cores: Primeiro, precisamos escolher as cores que serão utilizadas. Como podemos usar até 5 cores (já que temos 5 regiões), precisamos considerar as combinações possíveis de cores.

2. Usando a Combinatória: A combinação é a forma de escolher um subconjunto a partir de um conjunto sem se importar com a ordem. Assim, se quisermos escolher até 5 das 7 cores, podemos ter combinações de 1 a 5 cores.

3. Calculando as Combinações: As combinações podem ser calculadas usando a fórmula da combinação $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, onde $n$ é o total de cores e $k$ é o número de cores escolhidas:

4. Para 1 cor: $C(7,1)=7$

5. Para 2 cores: $C(7,2)=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7·6}{2·1}=21$
6. Para 3 cores: $C(7,3)=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7·6·5}{3·2·1}=35$
7. Para 4 cores: $C(7,4)=\frac{7!}{4!(7-4)!}=\frac{7·6·5·4}{4·3·2·1}=35$

8. Para 5 cores: $C(7,5)=\frac{7!}{5!(7-5)!}=\frac{7·6}{2·1}=21$

9. Total de Combinações: Somamos todas as combinações:
   $$7+21+35+35+21=119$$

10. Distribuição das Cores: Para cada combinação de cores escolhidas, podemos pintar as regiões, sendo que a ordem de pintura importa, já que cada região é distinta. Portanto, para cada conjunto de $k$ cores escolhidas, podemos permutá-los nas 5 regiões de $k!$ formas.

Por exemplo: - Se escolhemos 3 cores (A, B, C), podemos distribuir em 5 regiões, o que pode ser feito em $\frac{5!}{(5-k)!}$ com $k=3$:
$$\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=60$$

1. Calculando: Agora, precisamos multiplicar o número de combinações pelo número de arreglos para cada $k$:
2. Para 1 cor: $7·5!/(5-1)!=7·120=840$
3. Para 2 cores: $21·5!/(5-2)!=21·60=1260$
4. Para 3 cores: $35·5!/(5-3)!=35·20=700$
5. Para 4 cores: $35·5!/(5-4)!=35·5=175$

6. Para 5 cores: $21·5!/(5-5)!=21·1=21$

7. Total de Disposições: Somando tudo:
   $$840+1260+700+175+21=2996$$

Parece que houve algum erro no raciocínio, pois a resposta que você mencionou (10.920) indica que agitamos mais combinações ou que a questão é interpretada com uma restrição diferente amigável. Vamos balancear e revisar.

Resumo de Recontagem

Ao invés de combinações, usamos a repetição das cores estabelecendo quantas ordens diferentes resultariam da repetição numérico. A opção permitida é usar uma cor mais que uma vez até o total de 5 regiões e contar as opções.

Se todos os cálculos forem ajustados e revisados, a reinterpretação do total após combinações de cores e suas redistribuições permite o resultado desejado.

Talvez uma revisão da questão base possa indicar a necessidade de registros do total de ordens que atribuímos diretamente às regiões.

Se houver necessidade de mais ajustes ou outros detalhes, a consulta será bem vinda!