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Question

Se a fun&ccedil;&atilde;o f : R -> R, definida por f (x) = x^2 + bx + 10 com b pertencente aos reais, tem valor m&iacute;nimo igual a 1, ent&atilde;o o &uacute;nico valor poss&iacute;vel para b &eacute; 6. Vi essa quest&atilde;o na internet, mas n&atilde;o tinha a resolu&ccedil;&atilde;o. O gabarito dizia que essa &eacute; falsa, mas n&atilde;o consigo entender por qu&ecirc;. Vou comentar a resolu&ccedil;&atilde;o que eu fiz dela: 1) Percebi que essa fun&ccedil;&atilde;o &eacute; de uma par&aacute;bola. 2) Como 1 &eacute; valor m&iacute;nimo, ent&atilde;o 1 &eacute; o y do v&eacute;rtice. 3) Utilizei a f&oacute;rmula do y do v&eacute;rtice e substitui o b por 6. 4) yv = -(b^2 -4.a.c)/4.a -> 1= -(6^2 - 4.1.10)/4.1 -> 4 = -(36 - 40) -> 4 = -(-4) -> 4 = 4 5) Como a equa&ccedil;&atilde;o deu uma igualdade (4=4), deduzi que essa afirmativa estava correta. Por&eacute;m o gabarito diz que n&atilde;o. O que eu errei? A quest&atilde;o &eacute; da ifsc 2017.

Pedro S. · Accepted Answer

Olá Arthur. Você pode resolver essa conta sem saber derivada. Basta fazer o seguinte:  Já que é um valor de mínimo você estava certo ao usar a fórmula yv. vamos fazer o mesmo procedimento só que um pouco mais elaborado tudo bem? logo: yv=-(delta)/4a  assim vamos usar a igualdade a seguir delta=b²-4ac . Substituindo pelos valores da função temos que  delta = b²-4.1.10   o que será    delta= b²-40   aqui encontramos a equação que representa o delta logo vamos substituir na fórmula do Yv e ver o que acontece. Logo yv=-(b²-40)/4a correto? continuando temos: yv=(-b²+40)/4   nesse momento evemos nos lembrar que o valor mínimo é 1 logo yv=1 juntando tudo temos: 1=(-b²+40)/4 passaremos o 4 multiplicando, assim: 4=-b²+40  =>   4-40=-b²  =>   -b²=-36    x(-1)  =>  b²=36  o que nos dá duas possibilidades  ou b =6, pois 6²=36,  ou b = -6, pois (-6)²=36 também.

Eduardo O. · Answer

Podemos resolver a questão usando o conceito de derivada. A derivada primeira de f , f'(x) = 2x+b, deve ser zero no ponto de mínimo ou máximo. Então: 2x+b=0 Já o valor mínimo no mesmo ponto é 1, então: x^2 + bx + 10 = 1 resolvendo o sistema de 2 equações com 2 variáveis, x = -  b / 2 (-b/2)^2+b(-b/2)+10 = 1 b^2 / 4 - b^2 / 2 = - 9 -b^2 / 4 = - 9 b^2 = 36 b = 6 Portanto b deve ser 6

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