As aplicações de logaritmos são vastas, e uma delas está relacionada a estimativas de tempo de crescimento populacional. Sendo assim, considere a seguinte questão: Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 2% ao ano, aproximadamente. Sabendo que a população da cidade hoje é de 200.000 habitantes, e supondo que a taxa de crescimento se mantenha a mesma, descubra:
a) o número de habitantes dessa cidade após 2 anos;
b) uma fórmula geral que representa a população dessa cidade após x anos;
c) usando logaritmos, em quanto tempo a população dessa cidade triplicará
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Seja P0 a população inicial no ano 0
Após 1 ano teremos um aumento de 2%, ou seja P1 = P0 + 2%P0 = P0 + 0,02P0, Logo P1 = 1,02 P0
Após 2 anos teremos P2= P1 + 0,02P1 = 1,02P1 = (1,02)^2 *P0
assim 3 anos P3 = (1,02)^3*P0
Em uma fórmula geral teremos P(x) = (1,02)^x*P0
A-) Apoós 2 anos
P(2) = (1,02)^2*200000 = 208.080 ha
B-) P(x) = (1,02)^x*P0
C-) P(x) = 3*200000 = 600.000
Aplicando log dos dois lados:
LogP(x) = Log 600000
Log[(1,02)^x*P0] = 5,78
Log(1,02)^x + LogP0 = 5,78
x* Log(1,02) + LogP0 = 5,78
x * 0,0086 + 5,3 = 5,78
x = (5,78 - 5,30)/0,0086 = 56 anos
Lembrando Log(1,02) = 0,0086? ( Log na base 10)
Log 600000= 5,78
Log200000 = 5,3
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