Funções trigonométricas

Question

Sendo f(x)= (1-sin(4x))/2, e que b pertence a |pi/4, pi/2| e sabendo que f(pi b)*f(pi-b)=4/25, determinar f(b).

Carlos N. · Accepted Answer

Acredito que a formulação correta para o enunciado seria com f(pi+b)*f(pi-b)=4/25.   Primeiramente observe que:  a)  f(pi+b)=(1-sin(4(pi+b)))/2=(1-sin(4pi+4b))/2=(1-sin(4b))/2. (Usamos o fato que 4pi+4b é côngruo a 4b).  b) f(pi-b)= (1-sin(4(pi-b)))/2=(1-sin(4pi-4b))/2=(1-sin(-4b))/2=(1+sin(4b))/2. (Usamos o fato que 4pi-4b é côngruo a -4b e também que a função seno é ímpar).  Multiplicando os resultados de (a) e (b) obtemos:  f(pi+b)*f(pi-b)=[(1-sin(4b))/2]*[(1+sin(4b))/2]=(1-sin²(4b))/4, que, pelo enunciado, deve resultar em 4/25, logo:  (1-sin²(4b))/4 = 4/25   =>  1-sin²(4b) = 16/25 => sin²(4b) = 9/25 =>sin(4b) = ±3/5  Como b pertence a [pi/4, pi/2], segue que 4b pertence a [pi, 2pi] (ocupando ou o terceiro ou o quarto quadrante), o que resulta no seno negativo. Portanto sin(4b)=-3/5.  Finalmente,  f(b)=(1-sin(4b))/2=(1-(-3/5))/2=(1+3/5)/2=(8/5)/2=8/10=4/5.  A resposta será f(b)=4/5.

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