Geometria

Matemática EM Geometria
É dado um triângulo ABC, retângulo em A, cujos catetos medem: AB = c e AC = b. Determine o raio do círculo com centro na hipotenusa e tangente aos catetos.
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Arthur perguntou há 7 anos

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Professor Douglas S.
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Respondeu há 7 anos
Olá Arthur, Primeiramente, faça um bom desenho do triângulo ABC para acompanhar a solução. Faça um esboço (bem rudimentar mesmo) do círculo que tangencia os dois catetos. Vamos dizer que o círculo de centro O tangencia o cateto AB no ponto M e o cateto AC no ponto N. As medidas de OM e ON são R (raio do círculo), além disso, ON e OM são perpendiculares ao seus respectivos catetos. Veja agora que |AM|=|ON|=R e, portanto, |MB|=c-R. Tudo ok até aqui? Então vamos para uma semelhança de triângulos. Os triângulos ABC e MBO são semelhantes (três ângulos iguais). Assim |MO|/|BM|=|AC|/|AB|, isto é, R/(c-R)=b/c ----- > Rc = b(c-R) -----> Rc=bc-Rb ----> Rc+Rb = bc ------> R(b+c) = bc -----> R=bc/(b+c) Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por bc você ainda pode escrever R como R = 1/ ( 1/b + 1/c ), por que escrever assim?! Porque isso mostra que R é a metade da média harmônica dos catetos!! Outra possibilidade é reescrever a resposta como 1/R= 1/b+1/c, tipo uma "associação de resistores em paralelo"(caso você já tenha estudado circuitos em física). Bons estudos!

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