Olá Arthur,
Primeiramente, faça um bom desenho do triângulo ABC para acompanhar a solução. Faça um esboço (bem rudimentar mesmo) do círculo que tangencia os dois catetos. Vamos dizer que o círculo de centro O tangencia o cateto AB no ponto M e o cateto AC no ponto N.
As medidas de OM e ON são R (raio do círculo), além disso, ON e OM são perpendiculares ao seus respectivos catetos.
Veja agora que |AM|=|ON|=R e, portanto, |MB|=c-R. Tudo ok até aqui? Então vamos para uma semelhança de triângulos. Os triângulos ABC e MBO são semelhantes (três ângulos iguais). Assim |MO|/|BM|=|AC|/|AB|, isto é,
R/(c-R)=b/c ----- > Rc = b(c-R) -----> Rc=bc-Rb ----> Rc+Rb = bc ------> R(b+c) = bc -----> R=bc/(b+c)
Dividindo tanto o numerador quanto o denominador por bc você ainda pode escrever R como
R = 1/ ( 1/b + 1/c ), por que escrever assim?! Porque isso mostra que R é a metade da média harmônica dos catetos!!
Outra possibilidade é reescrever a resposta como 1/R= 1/b+1/c, tipo uma "associação de resistores em paralelo"(caso você já tenha estudado circuitos em física).
Bons estudos!