Integrais indefinidas

Matemática

, calcule a integral indefinida: ??dx/(x^2-9) ??dx/(2x^3+x) ??(5x-2)/(x^2-4) dx

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João Teixeira perguntou há 6 anos

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Professora Christiane M.
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Respondeu há 6 anos
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Caro João, apareceu na questão vários ???? que a deixou incompreensível. Quando for assim. tire uma foto da questão e coloque-a nas nuvens e depois disponibilisa o link. 

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Professor Sony M.
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Respondeu há 6 anos

 

 

 


Olá João,

Para resolver as três integrais apresentadas, vc terá que usar o chamado "Método das Frações Parciais". Vou resolver a primeira integral pra que vc tenha uma noção de como funciona.

O método consiste em reescrever a razão 1/(x^2-9) em componentes mais simples do tipo A/(x+3)+B/(x-3), onde +3 e -3 são as raízes do polinômio original x^2-9. A questão agora se resume em descobrir quais são os valores de A e B, de maneira que a seguinte igualdade se mantenha:

1/(x^2-9) = A/(x+3)+B/(x-3)

Esquecendo o lado esquerdo da igualdade e tirando o MMC do lado direito, vc ficará com

1/(x^2-9) = [A(x-3)+B(x+3)]/[(x+3)(x-3)]

1/(x^2-9) = Ax-3A+Bx+3B/(x^2-9)

Agora, perceba que os denominadores ficaram iguais. Logo, vc pode cortar os denominadores, resultando em

1 = Ax-3A+Bx+3B

1 = (A+B)x - 3A+3B)

Compara o lado esquerdo da igualdade com o lado direito. O lado esquerdo não tem x, logo, vc deve juntar com o termo do lado direito que também não tem x, ou seja,

1 = - 3A + 3B (#)

O lado direito tem x em (A+B) e não tem x no lado esquerdo. Logo, vc fica com

0 = A+B

Desta última equação, vc tira que A = -B. Substituindo na equação (#), vc terá

1 = -3A -3A = -6A

Logo, A = -1/6.

Assim, se A = -B, então, B = 1/6.

FINALMENTE, substituindo os valores de A e B lá na equação inicial, vc terá

integral 1/(x^2-9)dx = integral (-1/6)/(x+3)+integral (1/6)/(x-3)

As integrais no lado direito são ln, resultando em

= -(1/6)ln (x+3) + (1/6)ln (x-3)

= (1/6) [ln (x-3)-ln (x+3)]

= (1/6) [ln ((x-3)/(x+3))]


João, aprenda mais sobre as técnicas envolvidas nas frações parciais. É uma técnica bastante útil.

Até.





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