, calcule a integral indefinida: ??dx/(x^2-9) ??dx/(2x^3+x) ??(5x-2)/(x^2-4) dx
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Caro João, apareceu na questão vários ???? que a deixou incompreensível. Quando for assim. tire uma foto da questão e coloque-a nas nuvens e depois disponibilisa o link.
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Olá João,
Para resolver as três integrais apresentadas, vc terá que usar o chamado "Método das Frações Parciais". Vou resolver a primeira integral pra que vc tenha uma noção de como funciona.
O método consiste em reescrever a razão 1/(x^2-9) em componentes mais simples do tipo A/(x+3)+B/(x-3), onde +3 e -3 são as raízes do polinômio original x^2-9. A questão agora se resume em descobrir quais são os valores de A e B, de maneira que a seguinte igualdade se mantenha:
1/(x^2-9) = A/(x+3)+B/(x-3)
Esquecendo o lado esquerdo da igualdade e tirando o MMC do lado direito, vc ficará com
1/(x^2-9) = [A(x-3)+B(x+3)]/[(x+3)(x-3)]
1/(x^2-9) = Ax-3A+Bx+3B/(x^2-9)
Agora, perceba que os denominadores ficaram iguais. Logo, vc pode cortar os denominadores, resultando em
1 = Ax-3A+Bx+3B
1 = (A+B)x - 3A+3B)
Compara o lado esquerdo da igualdade com o lado direito. O lado esquerdo não tem x, logo, vc deve juntar com o termo do lado direito que também não tem x, ou seja,
1 = - 3A + 3B (#)
O lado direito tem x em (A+B) e não tem x no lado esquerdo. Logo, vc fica com
0 = A+B
Desta última equação, vc tira que A = -B. Substituindo na equação (#), vc terá
1 = -3A -3A = -6A
Logo, A = -1/6.
Assim, se A = -B, então, B = 1/6.
FINALMENTE, substituindo os valores de A e B lá na equação inicial, vc terá
integral 1/(x^2-9)dx = integral (-1/6)/(x+3)+integral (1/6)/(x-3)
As integrais no lado direito são ln, resultando em
= -(1/6)ln (x+3) + (1/6)ln (x-3)
= (1/6) [ln (x-3)-ln (x+3)]
= (1/6) [ln ((x-3)/(x+3))]
João, aprenda mais sobre as técnicas envolvidas nas frações parciais. É uma técnica bastante útil.
Até.
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