Os esforços para recuperar a população de uma espécie vegetal bastante ameaçada de extinção inclui diversas técnicas. O Instituto responsável dos estudos e aplicações associados a essa técnica garante que consegue aumentar o número de sobreviventes dessa espécie a uma taxa de 10% ao ano. Assinale alternativa que possui um número mais próximo em anos referente ao tempo necessário para que a população dessa espécie dobre a quantidade em relação aquela existente no início das aplicações das técnicas Os esforços para recuperar a população de uma espécie vegetal bastante ameaçada de extinção inclui diversas técnicas. O Instituto responsável está os estudos e aplicações associados essa técnica garantir que consegue aumentar o número de sobrevivente dessa espécie é uma taxa de 10% ao ano. Assinale alternativa que possui número mais próximo em anos referente ao tempo necessário para que a população dessa espécie dobra a quantidade em relação aquela existente no início desse aplicações das técnicas ( log2 = 0,30 e log11 = 1,04)
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Boa tarde, tudo bem?
Primeiramente, vamos interpretar a situação para que ela possa nos fornecer alguma informação importante para nos ajudar a resolver o problema. Vamos considerar P0 a população inicial da espécie. Note que para cada ano temos uma aumento de 10% no valor da população do ano anterior, i.e., se P1 representa a população no primeiro ano desde que a estratégia foi implantada, devemos ter P1 = P0 + 0,1P0 = (1,1)P0. Assim, usando o mesmo raciocínio, devemos ter para P2 o seguinte, P2 = P1 + 0,1P1 = (1,1)P0 + 0,1(1,1)P0 = (1,1)P0 + (1,11)P0 = (1,21)P0. Daí, já podemos começar a percerber certo padrão. De fato, podemos dizer que o valor da população no n-ésimo ano após a implatação da estratégia é de Pn = (1,1)nP0. Agora, para solucionar o problema, basta colocarmos Pn = 2P0 e resolver a equação:
2P0 = (1,1)nP0
2 = (1,1)n
Agora, aplicando log em ambos os membros e usando suas propriedades temos:
log(2) = log((1,1)n)
log(2) = log[(10-1. 11)n]
0,30 = n(log(10-1)+log(11))
0,30 = n((-1)log(10)+1,04)
0,30 = n(0,04)
n = 0,30/0,04 = 7.5
Daí, concluímos que a resposta correta é a letra (b).
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