Matemática análise combinatória

Professor Lucas T.

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Respondeu há 3 anos

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Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Daniel, boa tarde!

Se eu entendi sua pergunta, você ordenou essas combinações e gostaria de saber a 100ª posição.

Segundo seu raciocínio:

1ª - 0 0 0; 2ª - 0 0 1 e assim por diante, correto?

Vamos continuar a evoluir essa lógica um pouco mais:

3ª - 0 0 2; 4ª 0 0 3; 5ª 0 0 4; 6ª 0 1 0

Veja que nós precisamos de 5 posições para que o último algarismo retorne a ser 0, aumentando em uma unidade o segundo algarismo.

Dessa forma, é possível prever que:

5ª 0 0 4, 10ª 0 1 4; 15ª 0 2 4; 20ª 0 3 4; 25ª 0 4 4 e finalmente 26ª 1 0 0

Veja que precisamos de 25 posições para subir em uma unidade o primeiro algarismo.

Assim, é possível prever que a 100ª posição através do seguinte raciocínio:

25ª 0 4 4; 50ª 1 4 4; 75ª 2 4 4; 100ª 3 4 4; 125ª 4 4 4

Em relação a sua necessidade por uma fórmula geral, eu proponho algo diferente... um algorítmo:

Vamos supor que você tenha uma posição n para a qual você deseja calcular essa combinação ordenada, então:

1. Para o último algarismo, calcule o resto da divisão (n-1)/5. O resto é o valor do algarismo. Ex. (resto de (1-1)/5 é 0; resto de (5-1)/5 é 4)
2. Para o segundo algarismo, calcule o quociente inteiro da divisão (n-1)/25, que vamos chamar de q
3. Agora calcule o quociente inteiro da divisão (n-1 - q*25)/5, que é o valor do algarismo. Ex. (para a posição 125: q = quociente inteiro de (125-1)/25 = 4 => (125 - 1 - 4*25)/5 = (24)/5 => quociente inteiro de (24/5) é 4. Portanto, o segundo algarismo de 125 é 4.
4. Para o último algarismo, calcule o quociente inteiro da divisão (n-1)/25. O valor do quociente inteiro é o valor do algarismo. Ex. (para a posição 125:  (125-1)/25 = (124)/25 => quociente inteiro de (124/25) = 4. Portanto, 4 é o primeiro algarismo.

Vamos utilizar o algorítmo acima para o cálculo da posição 100ª:

n = 100

Último algarismo : resto de (100 - 1)/5 = resto de (99/5) = 4

Segundo algarismo: q = quociente inteiro de (100-1)/25 = 3 => quociente inteiro de (100 - 1 - 3*25)/5 = quociente inteiro de (99-75)/5 = 4

Primeiro algarismo: quociente inteiro de (100-1)/25 = 3

Portanto, a posição 100ª nessa combinação ordenada é 3 4 4.

Espero ter ajudado, se ficar com dúvidas ou se eu não tiver entendido seu questionamento, avise.

Professora Elis P.

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Respondeu há 3 anos

Daniel,

Primeiro veja se entendi o que você quer, com os números (0,1,2,3,4), você consegue criar os números 000, 001,002,003,004,... até o 444, e você precisa saber em que posição estaria o número 100, no caso se os colocassem em ordem crecente, é isso mesmo?

Eu vou te responder baseado nesse entendimento, mas se for outra coisa você edita a questão que tentarei te ajudar.

Realmente você tem um total de 125 números possíveis, e como irá colocá-los em ordem crescente, podemos concluir que o primeiro será o 000, e que todos os que começam com zero virão antes de todos que começam com 1. Também podemos concluir que 100 será o menor dos números que iniciam com 1, ou seja, o número que vem logo depois de 044 (último que inicia com 0).

Para encontrar essa posição, vamos ver então o total de números que iniciam com zero:

1 elemento na primeira posição (o zero) . 5 elementos na segunda . 5 elementos na terceira, ou seja = 1 . 5 . 5 = 25

Na verdade você tem 25 números começando com cada um dos algarismos, por isso um total de 125.

Se você tem 25 números começando com zero, na sequencia você tem 25 começando com 1, sendo 100 o primeiro deles, ou seja, na lista dos 125 números formados, ele ocupa a 26ª posição.

Esse tipo de exercício é feito dessa forma mesmo, por exemplo, se quiser saber em que posição estaria 200 : 25 que começam com zero + 25 que começam com 1 = 50, como 200 é o primeiro que começa com 2, ele estaria na 51ª posição.

Espero ter ajudado.

Fica com Deus!