Matemática concurso

Question

Um zelador de um col&eacute;gio ao entrar na sala de aula para apagar o quadro se depara com o seguinte problema. Determine o valor de n E N sabendo que X = 45&times;75 , Y = 45 &times;75 e que mmc (X,Y) = 225&times;mdc (X,Y ). Como o zelador era apaixonado por matem&aacute;tica, foi resolver o problema antes de apagar o quadro. Se o zelador acertou a quest&atilde;o, ent&atilde;o podemos afirmar que n &eacute; igual a   a) 15. b) 6. c) 9. d) 12. e) 3.

Ataide C. · Answer

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André C. · Answer

Boa tarde Camila.  Como X = 45 · 75^n e Y = 45^n · 75, então, temos que tanto X quanto Y podem ser decompostos em fatores primos, tendo a seguinte forma:  X =  (3 · 3 · 5)^n · 3 · 5 · 5 = 3^(2n+1) · 5^(n+2) Y = 3 · 3 · 5 · (3 · 5 · 5)^n = 3^(n+1+2) · 5^(2n+1)  Logo, temos que o   mmc(X, Y) = 3^(2n+1) · 5^(2n+1) mdc(X, Y) = 3^(n+2) · 5^(n+2)  Como   mmc(X, Y) = 225 · mdc(X, Y)   então, temos que  3^(2n+1) · 5^(2n+1) = 225 · (3^(n+2) · 5^(n+2)) => 3^(2n+1) · 5^(2n+1) = (3 · 3 · 5 · 5) · (3^(n+2) · 5^(n+2)) => 3^(2n+1) · 5^(2n+1) = (3² · 5²) · (3^(n+2) · 5^(n+2)) => 3^(2n+1) · 5^(2n+1) = (3^(n+4) · 5^(n+4))  Como as bases são iguais, então, tem-se que:  2n + 1 = n + 4 => 2n - n = 4 - 1 => n = 3  Alternativa E.  Atenciosamente,

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