Considere a, b, m Z com m maior ou igua a 2. Prove que se a ? b(mod m), então mdc(a, m) = mdc(b, m).
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Considere a, b, m Z com m maior ou igua a 2. Prove que se a = b(mod m), então mdc(a, m) = mdc(b, m).
Solução.
Considere p = mdc(a,b) e q = mdc(b,m).
Dado que a = b (mod m), então existe k inteiro tal que: a = b + km.
Dado que q | b, e q | m, segue-se que q | a. Logo, pela definição de q ? p.
Dado que a = b (mod m), então existe k' inteiro tal que: b = a + k'm.
Dado que p | a, e p | m, segue-se que p | b. Logo, pela definição de p ? q.
Portanto, q = p, isto é, mdc(a,b) = mdc(b,m).
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