Melhor resposta
Essa foi a melhor resposta,
escolhida pelo autor da dúvida
Boa tarde Alice Maia.
Vamos resolver estes exercícios.
O princípio é quase sempre o mesmo para todas as alternativas.
Como A e B são invertíveis (ou inversíveis) o exercício torna-se facilitado.
a)
AX = B (Multiplicando ambos os lados pela inversa de A, ou seja, A^(-1), temos)
A^(-1)AX = A^(-1)B (Usando a propriedade que A.A^(-1) = I, temos)
IX = A^(-1)B (como IX = X, então)
X = A^(-1)B
b)
AXB = I (Desta igualdade temos que XB = A^(-1), pois A.A^(-1) = I)
XB = A^(-1) (Usando as mesmas passagens do item A, temos)
XBB^(-1) = A^(-1)B^(-1)
X = A^(-1)B^(-1)
c)
Para matrizes temos a seguinte propriedade, quando existe a multiplicação, que é o caso, pois estamos tratando de matrizes quadradas
A.(BC) = (AB).C
BAX = A (Usando a propriedade, temos)
A(BX) = A (Daí temos que BX = I, pois AI = A)
BX = I
B^(-1)BX = B^(-1).I
X = B^(-1)
d)
(A+X)^t = B (Primeiro vamos inverter o TRANSPOSTO (^t) de lado, ou seja)
A + X = B^(t) (Agora somamos -A de ambos os lados)
A + X - A = B^(t) - A (Usando a propriedade ASSOCIATIVA: A + (B + C) = (A + B) + C
X + A - A = B^(t) - A
X = B^(t) - A
e)
Para este item vamos usar a seguinte propriedade (AB)^(-1) = A^(-1)B^(-1)
(AX)^(-1) = B
A^(-1)X^(-1) = B
AA^(-1)X^(-1) = AB
X^(-1) = AB (Invertendo ambas as matrizes, temos)
(X^(-1))^(-1) = (AB)^(-1)
X = (AB)^(-1)
f)
(AX)^t = B (Repetindo os passos já descritos, temos)
AX = B^t
A^(-1)AX = A.B^t
X = A.B^t
Espero ter ajudado e bons estudos.