[Matrizes] Sendo A e B matrizes inversíveis de ordem n. Resolva as equações matriciais, isolando o X.

Matemática Equações Matrizes
a) AX=B b)AXB=I c)BAX=A d)(A+X)^t=B e)(AX)^-1=B f) (AX)^t=B
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Alice perguntou há 8 anos

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Professor André C.
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Boa tarde Alice Maia. Vamos resolver estes exercícios. O princípio é quase sempre o mesmo para todas as alternativas. Como A e B são invertíveis (ou inversíveis) o exercício torna-se facilitado. a) AX = B (Multiplicando ambos os lados pela inversa de A, ou seja, A^(-1), temos) A^(-1)AX = A^(-1)B (Usando a propriedade que A.A^(-1) = I, temos) IX = A^(-1)B (como IX = X, então) X = A^(-1)B b) AXB = I (Desta igualdade temos que XB = A^(-1), pois A.A^(-1) = I) XB = A^(-1) (Usando as mesmas passagens do item A, temos) XBB^(-1) = A^(-1)B^(-1) X = A^(-1)B^(-1) c) Para matrizes temos a seguinte propriedade, quando existe a multiplicação, que é o caso, pois estamos tratando de matrizes quadradas A.(BC) = (AB).C BAX = A (Usando a propriedade, temos) A(BX) = A (Daí temos que BX = I, pois AI = A) BX = I B^(-1)BX = B^(-1).I X = B^(-1) d) (A+X)^t = B (Primeiro vamos inverter o TRANSPOSTO (^t) de lado, ou seja) A + X = B^(t) (Agora somamos -A de ambos os lados) A + X - A = B^(t) - A (Usando a propriedade ASSOCIATIVA: A + (B + C) = (A + B) + C X + A - A = B^(t) - A X = B^(t) - A e) Para este item vamos usar a seguinte propriedade (AB)^(-1) = A^(-1)B^(-1) (AX)^(-1) = B A^(-1)X^(-1) = B AA^(-1)X^(-1) = AB X^(-1) = AB (Invertendo ambas as matrizes, temos) (X^(-1))^(-1) = (AB)^(-1) X = (AB)^(-1) f) (AX)^t = B (Repetindo os passos já descritos, temos) AX = B^t A^(-1)AX = A.B^t X = A.B^t Espero ter ajudado e bons estudos.

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