[Matrizes] Sendo A e B matrizes inversíveis de ordem n. Resolva as equações matriciais, isolando o X.

Question

a) AX=B b)AXB=I c)BAX=A d)(A+X)^t=B e)(AX)^-1=B f) (AX)^t=B

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver equações matriciais, isolaremos a matriz $X$ em cada situação apresentada. Vale lembrar que a solução depende fortemente das propriedades das matrizes, como a multiplicação de matriz inversa e as propriedades da transposição.

a) $A X = B$

Para isolar $X$ , multiplicamos ambos os lados por $A^{- 1}$ à esquerda (lembrando que $A^{- 1} A = I$ , onde $I$ é a matriz identidade):

[A^{-1}AX = A^{-1}B]

[IX = A^{-1}B]

[X = A^{-1}B]

b) $A X B = I$

Para isolar $X$ , multiplicamos ambos os lados por $B^{- 1}$ à direita e $A^{- 1}$ à esquerda:

[A^{-1}AXBB^{-1} = A^{-1}IB^{-1}]

[IXI = A^{-1}B^{-1}]

[X = A^{-1}B^{-1}]

c) $B A X = A$

Para isolar $X$ , multiplicamos ambos os lados por $B^{- 1}$ à esquerda e $A^{- 1}$ à direita:

[B^{-1}BAXA^{-1} = B^{-1}AA^{-1}]

[IXI = B^{-1}IA^{-1}]

[X = B^{-1}A^{-1}]

d) ((A+X)^t = B)

Aqui, precisamos considerar que a transposição inverte a ordem da soma:

[(A+X) = B^t]

Assim, a solução para $X$ é:

[X = B^t - A]

e) ((AX)^{-1} = B)

Para isolar $X$ , primeiro tomamos o inverso de ambos os lados:

[AX = B^{-1}]

Agora, multiplicamos ambos os lados por $A^{- 1}$ à esquerda:

[A^{-1}AX = A^{-1}B^{-1}]

[IX = A^{-1}B^{-1}]

[X = A^{-1}B^{-1}]

f) ((AX)^t = B)

Transpondo ambos os lados, e sabendo que ((AB)^t = B^tA^t):

[X^tA^t = B]

Para isolar $X^{t}$ , multiplicamos ambos os lados por ((A^t)^{-1}) à direita (e isso é igual a ((A^{-1})^t) devido à transposição inversa):

[X^t = BA^{-1}]

Assim, a solução para $X$ (transposição):

[X = (BA^{-1})^t]

Essas são as soluções para cada equação matricial dada, considerando as condições de que $A$ e $B$ são inversíveis.

André C. · Answer

Boa tarde Alice Maia.  Vamos resolver estes exercícios.  O princípio é quase sempre o mesmo para todas as alternativas.  Como A e B são invertíveis (ou inversíveis) o exercício torna-se facilitado.  a)  AX = B  (Multiplicando ambos os lados pela inversa de A, ou seja, A^(-1), temos)  A^(-1)AX = A^(-1)B   (Usando a propriedade que A.A^(-1) = I, temos)  IX = A^(-1)B    (como IX = X, então)  X = A^(-1)B  b)  AXB = I (Desta igualdade temos que XB = A^(-1), pois A.A^(-1) = I)  XB = A^(-1)    (Usando as mesmas passagens do item A, temos)  XBB^(-1) = A^(-1)B^(-1)  X = A^(-1)B^(-1)  c)  Para matrizes temos a seguinte propriedade, quando existe a multiplicação, que é o caso, pois estamos tratando de matrizes quadradas   A.(BC) = (AB).C  BAX = A (Usando a propriedade, temos)  A(BX) = A (Daí temos que BX = I, pois AI = A)  BX = I   B^(-1)BX = B^(-1).I  X = B^(-1)  d)  (A+X)^t = B   (Primeiro vamos inverter o TRANSPOSTO (^t) de lado, ou seja)  A + X = B^(t)  (Agora somamos -A de ambos os lados)  A + X - A  = B^(t) - A (Usando a propriedade ASSOCIATIVA: A + (B + C) = (A + B) + C  X + A - A = B^(t) - A  X = B^(t) - A  e)  Para este item vamos usar a seguinte propriedade (AB)^(-1) = A^(-1)B^(-1)  (AX)^(-1) = B  A^(-1)X^(-1) = B  AA^(-1)X^(-1) = AB  X^(-1) = AB (Invertendo ambas as matrizes, temos)  (X^(-1))^(-1) = (AB)^(-1)  X = (AB)^(-1)  f)  (AX)^t = B    (Repetindo os passos já descritos, temos)  AX = B^t  A^(-1)AX = A.B^t  X = A.B^t  Espero ter ajudado e bons estudos.

[Matrizes] Sendo A e B matrizes inversíveis de ordem n. Resolva as equações matriciais, isolando o X.

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