Maximização - cálculo ii

Professor David C.

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Melhor resposta

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Considere um consumidor que possui uma função utilidade do tipo CES, dada por:

U(x,y)=(x^p + y^p)^1/p, com p uma constante.

Responda:

a. Qual os pares (x*,y*) que resolvem o problema de maximização da utilidade do consumidor, sujeito a restrição orçamentária:

B={(x,y) E R² | xP_x + yP_y <= i},

em que: P_x,P_y e i são respectivamente, preço dos bens x e y e a renda do consumidor.

b. Mostre que a função deste problema é: U(x*,y*)= i[P_x^m + P_y^m]^1/m, onde m= p/(p-1).

Solução

a. Considere f(x,y) = (x^p + y^p)^1/p,  g(x,y) = xP_x + yP_y - i. Usaremos as condições K-T sobre f e g:

- Nabla f(x,y) = ( x^p-1(x^p + y^p)^(1-p)/p , y^p-1(x^p + y^p)^(1-p)/p )

- Nabla g(x,y) = (P_x , P_y )

Resolvemos a seguinte equação Nabla f(x,y) = t (Nabla g(x,y) ):

( x^p-1(x^p + y^p)^(1-p)/p , y^p-1(x^p + y^p)^(1-p)/p ) = (tP_x , tP_y ) 

logo:

t = (x^p-1(x^p + y^p)^(1-p)/p )/P_x = (y^p-1(x^p + y^p)^(1-p)/p )/P_y

A igualdade anterior:

x^p-1/ P_x =y^p-1/ P_y => x = y (P_x / P_y) ^1/(p-1)

Substituindo em P_x x+P_y y = i :

P_x y (P_x / P_y) ^1/(p-1) +P_y y = i
y* = (i P_y^1/(p-1) ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )

x* = (i P_x^1/(p-1) ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )

Vamos mostrar que no ponto (x*, y*), t atinge um máximo (isto é, t é não negativo)

t = (x^p-1(x^p + y^p)^(1-p)/p )/P_x

t = ((i^p-1 P_x ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^p-1 ( (i^p P_x^p/(p-1) ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^p + (i^p P_y^p/(p-1) ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^p )^(1-p)/p )/P_x

t = ((i^p-1 P_x ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^p-1 ( i^p( P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^p  )^(1-p)/p )/P_x

t = (i^p-1 P_x  (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^1-p )/P_x  ( i^p (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^1-p )^(1-p)/p

t = (i^p-1 (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^1-p ) ( i^1-p (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^(1-p)(1-p)/p )

t = (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^1-p )  (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^(1-p)(1-p)/p

t =  (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^(1-p)/p >= 0, sempre que P_x, P_y >= 0

Portanto, o ponto (x*, y*) é o máximo de f(x,y) restrito a g(x,y) <= 0.

b. Por outro lado:

U(x*, y*) = f(x*, y*) = (x*^p + y*^p)^1/p =[ (i^p P_x^p/(p-1) ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^p + (i^p P_y^p/(p-1) ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^p  ]^1/p

U(x*, y*) = [(i^p P_x^p/(p-1) + i^p P_y^p/(p-1) ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^p ]^1/p

U(x*, y*) = [(i^p P_x^p/(p-1) + i^p P_y^p/(p-1) ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^p ]^1/p

U(x*, y*) = i [(P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) ) / (P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^p ]^1/p

U(x*, y*) = i [(P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1) )^1-p ]^1/p = i [ P_x^p/(p-1) + P_y^p/(p-1)]^(1-p)/p

Considere m = p/(p-1)

U(x*, y*) = i [P_x^m + P_y^m]^1/m

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