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Matemática

MOSTRE QUE 5¹³¹+7¹³¹+11¹³¹+13¹³¹ É MULTIPLO DE 9.

Foto de Edvania N.
Edvania perguntou há 4 anos

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Professor Marcos M.
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Respondeu há 4 anos
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Falso.(Vou colocar o link da foto explicando)

 

 

Fiz usando o pequeno teorema de fermat.

 

 

Comecei fazer e deu um erro no final. Use o pequeno teorema e some as primeiras parcelas. Pode dar certo.

 

Espero que tenha visto a imagem que postei pois em parte está certa. Agora estou fazendo outra atividade, se tivesse com mais tempo faria.

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Professor Leandro S.
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Respondeu há 4 anos

Vou usar aritmética modular, que basicamente é uma aritmética que só se interessa pelos restos da divisão por um número. Apenas pra te introduzir na notação:

Se A dividido por Q tem resto R, dizemos:

A\equiv R\pmod Q

Com isso temos várias propriedades interessantes e bem intuitivas que sugiro dê uma olhada caso não conheça.

Por que estou falando disso? Vou usar ela para provar que esse número tem resto zero na divisão por 9, o que o faz múltiplo de 9:

5^{131}+7^{131}+11^{131}+13^{131}\stackrel{?}{\equiv}0\pmod 9

A estratégia é fatorar os valores de forma que tenhamos módulos 1 ou -1:

\begin{cases}5^3\equiv 125\equiv 9\times 14-1\equiv-1\pmod 9\\7^3\equiv 343\equiv 9\times 38+1\equiv 1\pmod 9\\11^3\equiv 1331\equiv 9\times 148-1\equiv -1\pmod 9\\13^3\equiv 2197\equiv 9\times 244+1\equiv 1\pmod9 \end{cases}

Portanto:

5^{131}+7^{131}+11^{131}+13^{131}\\ \equiv 5^2(5^3)^{43}+7^2(7^3)^{43}+11^2(11^3)^{43}+13^2(13^3)^{43}\\ \equiv 5^2(-1)^{43}+7^2(1)^{43}+11^2(-1)^{43}+13^2(-1)^{43}\\ \equiv -25+49-121+169\equiv 72 \equiv 0\pmod 9

Provamos então que esse número é múltiplo de 9.

Espero ter ajudado.

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Professora Auriceli L.
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Respondeu há 4 anos

POSSO TE SUGERIR A RAIZ DE 131 DE TODA ESSA EXPRESSÃO?

ASSIM VOCÊ ELIMINA O EXPOENTE 131 TORNANDO TODOS OS NÚMEROS ELEVADOS A UM. DEPOIS SOMA TODOS OS NÚMEROS.

? RAIZ DE 131 (5^131+7^131+11^131+13^131)= 5+7+11+13=36

AGORA DIVIDE POR 9.

36 : 9 = 4

RESULTADO EXATO. ENTÃO, SIM O RESULTADO DA EXPRESSÃO É UM NÚMERO MÚLTIPLO DE 9.

ESPERO TER AJUDADO! ABRAÇOS!! PROFESSORA AURICELI LIMA

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