Aulas Particulares no Profes
Aulas particulares Tarefas Outros recursos Planos Entrar Cadastre-se

Me ajudem!

Matemática

ACHAR O RESTO DA DIVISÃO DE 2 ELEVADO A 50 + 7 ELEVADO A 65 POR 7.

Foto de João V.
João perguntou há 4 anos

Sabe a resposta?

Ganhe 10 pts por resposta de qualidade
Responder dúvida
2 respostas
2
votos
2 usuários votaram nessa resposta como útil.
Professor Leandro S.
Identidade verificada
  • CPF verificado
  • E-mail verificado
Respondeu há 4 anos

Não sei se você está familiarizado com aritmética modular, que é basicamente uma aritmética que só se interessa nos restos pelo divisão de um tal número. Com ela fica bem fácil resolver o problema.

Apenas fazendo uma introdução, se A tem resto R na divisão por Q, usamos a notação:

A \equiv R \pmod Q

Exemplo:

8 \equiv 1 \pmod 7

Duas propriedades dela são as seguintes:

Se A_1\equiv R_1 \pmod Q e A_2\equiv R_2\pmod Q, então:

A_1 +A_2 \equiv R_1 + R_2 \pmod Q

O que implica na seguinte regra, dada uma constante k:

k\cdot A_1 \equiv k\cdot R_1 \pmod Q

E uma última propriedade interessante é a da potência:

A_1^n \equiv R_1^n\pmod Q

Seguindo para o nosso problema:

2^{50}+7^{65}\equiv ? \pmod 7

Como:

7\equiv 0\pmod 7\Rightarrow 7^{65}\equiv 0\pmod 7

Portanto:

2^{50}+7^{65}\equiv 2^{50} \pmod 7

O que já reduz o problema. Agora podemos fazer o seguinte pra achar a resposta:

2^{50}\equiv 4\cdot(2^3)^{16}\equiv 4\cdot 8^{16}\pmod 7

Mas 8 \equiv 1 \pmod 7, portanto:

4\cdot 8^{16}\equiv 4\cdot 1^{16} \equiv 4\pmod 7

Portanto temos a resposta: 4.

Espero ter ajudado.

 

Envie uma dúvida gratuitamente

Envie sua primeira dúvida gratuitamente aqui no Tira-dúvidas Profes. Nossos professores particulares estão aqui para te ajudar.

Enviar dúvida
0
votos
Nenhum usuário votou nessa resposta como útil.
Professor David C.
Identidade verificada
  • CPF verificado
  • E-mail verificado
Respondeu há 4 anos

Achar o resto de

\dfrac{2^{50}+7^{65}}{7}

Solução.

Pelo algoritmo da divisão:

2^{50}+7^{65}= 7 A + X

Desejamos calcular o valor de X

Note que:

2^{50}= 7A - 7^{65} + X = 7(A-7^{64}) + X = 7B + X

Isso reduce a calcular o valor de X quando

2^{50} = 7 B + X

 

Por outro lado, observe que

2^{0} = 7(0) + 1

2^{1} = 7(0) + 2

2^{2} = 7(0) + 4

---------------------

2^{3} = 7(1) + 1

2^{4} = 7(2) + 2

2^5 = 7(4) +4

---------------------

Logo existe um padrão que podemos representar da seguinte maneira

2^{3k}= 7P_1 + 1

2^{3k+1}= 7 P_2 +2

2^{3k+2}=7P_3 + 4

-------------------

 

Assim:

2^{50}=2^{3(16)+2}= 7P_3 + 4 = 7 B + X \Rightarrow X = 4

Portanto, o resto de dividir 2^{50}+7^{65} por 7 é 4

 

 

Para mais informação:
asesor.matematica.1990@gmail.com

Whatsapp: (11)994414817

Professores particulares de Matemática

+ Ver todos
Encontre professor particular para te ajudar nos estudos
R$ 70 / h
Marcos T.
Iguaba Grande / RJ
Marcos T.
5,0 (83 avaliações)
Horas de aulas particulares ministradas 847 horas de aula
Identidade verificada
  • CPF verificado
  • E-mail verificado
Porcentagem Aulas Individuais de Matemática Matemática para Enem
Graduação: Engenharia Civil (UNIESP)
Mais de 2000 horas de aulas on-line ministradas. Inúmeras aprovações em concursos militares e vestibulares. Meu objetivo é seu entendimento.
Contatar Ver WhatsApp
R$ 55 / h
Marcos F.
Rio de Janeiro / RJ
Marcos F.
4,9 (1.327 avaliações)
Horas de aulas particulares ministradas 1.676 horas de aula
Tarefas resolvidas 1.573 tarefas resolvidas
Identidade verificada
  • CPF verificado
  • E-mail verificado
1ª hora grátis
Matrizes Matemática Nível Técnico Porcentagem
Graduação: Intercâmbio Internacional e Graduação Sanduíche (Miami University)
Professor de matemática, física e química com 10 anos de experiência! Vem aprender comigo!
Contatar Ver WhatsApp
Envie uma tarefa, lista de exercícios, atividade ou projeto
  • Você define o prazo
  • Professores fazem propostas e você escolhe o melhor
  • Interação com o professor por chat
  • Se não gostar da resolução, reembolsamos
Enviar Tarefa
Últimas dúvidas de Exatas - Química
Quimica analitica quantitativa Gás acetileno Funçoes de estado Gostaria de entender porque seria a letra a a resposta ? Nao entendi a questao !! Soda caússtica 50% Dúvida sobre interações intermoleculares

Envie uma dúvida gratuitamente

Envie sua primeira dúvida gratuitamente aqui no Tira-dúvidas Profes. Nossos professores particulares estão aqui para te ajudar.

Enviar dúvida
Disciplinas principais
Matemática Física Química Português Biologia Engenharia Cálculo História Excel Inglês Estatística Matemática Financeira Geografia Filosofia Informática Geral Direito Administração Sociologia Português para estrangeiros Economia Literatura Letras Redação Ciências Contábeis Computação Farmácia-Bioquímica Pedagogia Medicina Enfermagem Espanhol História da Arte Redes de Computadores Ciências Sociais
Encontre um professor e combine aulas particulares Presenciais ou Online
Buscar professor particular

Recursos Profes

O Profes é uma solução completa de aprendizagem, com diversos recursos para
você aprender do jeito mais eficiente e personalizado possível.

Aulas Buscar
Está precisando de um professor particular?
Mais de 50.000 dos melhores professores em todas as disciplinas. Encontre o seu.
Tarefas Pedir
Precisa de ajuda numa atividade, lista, TCC, etc?
Peça ajuda em uma atividade. Receba ofertas e escolha. Ela será entregue no seu prazo.
Turmas Procurar
Aprenda em uma Turma de poucos alunos com um professor ao vivo?
Cursos com até 5 alunos ministrado por um professor ao-vivo a um preço acessível.
Profes Já Pedir
Está precisando de uma aula particular agora?
Uma aula imediata na Sala Profes. As aulas são cobradas por minuto.
Cursos Encontrar
Precisa aprender em um Curso gravado completo?
Cursos gravados pelos melhores professores. Para você ver quando, onde quiser e no seu tempo.
Tira-dúvidas Enviar dúvida
Tem uma dúvida pontual e gostaria de ter ela respondida?
Dúvidas pontuais respondidas rapidamente pelos professores.