Me ajudem com as séries

Professor Saul L.

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Respondeu há 4 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Resposta no link.

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Se gosto da resposta deixar como melhor. Bom estudo

Professor Henrique N.

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Respondeu há 4 anos

Oi, Alfredo!

Lembremos que uma série é convergente se o limite de suas somas parciais existe, ou seja, existe  tal que

, e divergente caso contrário.

Para o item a), examinemos suas somas parciais. Neste caso, . Mostraremos, pelo Princípio da Indução Finita, que (I).

Quando (caso base), temos que

, validando a igualdade (I) para este caso.
Agora, suponha que a igualdade (I) vale para um dado , ou seja,

. Então,

(II)

A partir daí, podemos simplificar o último termo da igualdade (II):

.

Isso mostra, então, que para qualquer , e então podemos mostrar que

, onde este último limite é já mais clássico e facilmente calculável. Então a série é convergente, e sua soma é 1.

Para o item b), queremos calcular . Mas sabemos que, se , então , e então .
Mas, utilizando o Critério de Comparação entre séries, vemos que

.
Mas sabemos que esta última série é a série harmônica, que sabemos (https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harm%C3%B3nica_(matem%C3%A1tica)) que é divergente.

Então , a série original, por ter soma maior do que a da série harmônica, também é divergente.