1. Em um triângulo equilátero ABC inscreve-se um quadrado MNOP de área 3 m². Sabe-se que o lado MN está contido em AC, o ponto P pertence a AB e o ponto O pertence a BC. Nessas condições, a área em m² do triângulo ABC mede:
a) 15
b) 18
c) 23
d) 79
e) Nenhuma das alternativas
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Oi Sophie,
Faça o desenho da situação primeiro, às vezes, as pessoas não resolvem porque não conseguem fazer o desenho da situação. A seguir, um roteiro pra vc desenhar, coloque todos os pontos ok?!
Um triângulo com 3 lados iguais e o quadrado na base dele, dentro dele, sendo que os dois vértices do quadrado tocam as faces diagonais do triângulo. Ponto A no vértice esquerdo, B em cima e C no direito. M e N sobre a base e da esq para a direita. O ponto em que o quadrado encosta a diag direita é O e na esquerda, P.
Descendo uma linha reta do vértice de cima até a base, terá o ponto X, no meio da base. Sendo a área do quadrado de 3 m^2, seu lado é a raiz quadrada de 3. Marque então estas medidas no seu desenho, Raiz(3) em ON e PO, PM e MN. Se o triângulo ABC é equilátero, o triângulo acima do quadrado também é pois os ângulos são os mesmos, são congruentes ABC e PBO. No centro de PO, marque o ponto Y e no centro de AC, marque o ponto X.
Com essas conclusões, agora vc poderá fazer um outro desenho pra calcular a altura de ABC, reta BX e a base AC, por semelhança de triângulos. Faça um outro desenho com a parte direita de ABC, BXC e a metade do quadrado e todos os pontos e distâncias encontrados.
Note o triângulo BYO que é congruente a BXC. Suas alturas e suas bases são proporcionais porque estão um sobre o outro. Agora é só uma regra de três e terá a base XC, mas antes precisa do valor de BY. Lembra que PBO é equilátero? então BO=raiz(3) e YO = {raiz(3)]/2. Usando teorema de Pitágoras...
BY^2= (raiz(3)^2) - {raiz(3)]/2}^2
BY=raiz(9/4) BY=3/2. Portanto a altura BX = 3/2 + raiz(3)
Voltando à BXC, por semelhança de triângulos:
XC/BX = YO/BY (tanto faz a ordem das letras)
XC/[raiz(3)+3/2] = raiz(3)/ [3/2] e você deverá encontrar o valor de XC=1+[raiz(3)/2]
Finalmente, para achar a área do triângulo ABC, At=b.h/2 ou At=XC.BX/2
deverá achar At=3/2 + raiz(3).
Boa sorte no exercício e lembre-se, faça desnhos em qualquer questão de xatas, sempre que pos´´ivel, ajuda bastante.
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