Me ajudem nestas questões por favor

Professor Gerson O.

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Respondeu há 3 anos

Boa tarde, Joana. Tudo bem?
Para efetuarmos a divisão de números complexos, devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do número complexo. 

Lembre-se que i²= -1 e a² - b² = (a + b)(a -b)

Professor Pedro B.

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Respondeu há 3 anos

Boa tarde Joanna, tudo certo?

Para responder às questões 1, 2 e 3 eu vou desenvolver uma fórmula que facilitará as coisas, mas lembre-se o processo que desenvolveremos para essa fórmula é importante e é o mesmo processo utilizado para a solução dos exercícios, apenas utilizarei a fórmula para economizar linhas.

Suponha z = a + bi e w = c + di dois números complexos. Queremos computar z/w, então:

z/w = (a + bi)/(c + di)

Multiplizando em cima em embaixo pelo conjudaso de w, isto é, w* = c - di, temos:

z/w = [ (a + bi)(c - di) ]/(c² + d²)

Aqui, e importante lembrar a propriedade que diz que w.w* = c² + d² , basta fazer (c + di)(c - di) = c² - cdi + cdi -di² = c² - d² (-1) = c² + d² . Daí, temos a fórmula

z/w = (z.w*)/(c² + d²).

Observe que estou usando w* para denotar o conjugado de w. 

Vamos agora para os exercícios:

1. z1 = 2 - 3i e z2 = 1 + 2i. Como z2* = 1 - 2i e temos que z1.z2 = (2 - 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i - 3i + 6i² = 2 - 7i - 6 = -4 - 7i. Daí, na nossa fórmula, obtemos

z1/z2 = (-4 - 7i)/(1² + 2²) = (-4 - 7i)/5 = -4/5  - 7i/5.

2. Vamos fazer o mesmo que no exercicio anterior, te encorajo à fazer o produto z1.z2 por conta própria, como os processos são análogos deixarei apenas a resposta desses produtos. z1 = 2 e z2 = -1+i, então z1.z2* = -2 - 2i, daí, na nossa fórmula:

z1/z2 = (-2 - 2i)/((-1)² + 1²) = (-2 - 2i)/2 = -1 - i.

3. Novamente, z1 = 3 + 2i e z2 = 4i, então, z1.z2* = 12i - 8i² = 8 + 12i. Na fórmula:

z1/z2 = (8 + 12i)/((0² + 4²) = (8 + 12i)/16 = 1/2 + 3i/4.

4. O inverso de um numero complexo z é simplesmente 1/z, entao repare que podemos utilizar novamente nossa fórmula, onde o numerador é o numero complexo 1. Assim temos que 1.z* = z* = 3 + 2i. Agora, na fórmula:

1/z = (3 + 2i)/(3² + (-2)²) = (3 + 2i)/13 = 3/13 + 2i/13.