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Matemática Números Reais

Existem infinitos números reais x tais que |10x + 14| ? 37.

Nessa condição, qual é o valor máximo de |x|?

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Max perguntou há 3 anos

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Professor Pedro B.
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Respondeu há 3 anos

Olá tudo bem? Como a edição de sua perguntaficou confusa, vou supor que aquela interrogação na expressão, seja um sinal de maior ou igual, ou um de menor ou igual, assim, considerarei dois casos.

CASO I: |10x + 14| maior ou igual à 37.

Solução. Primeiramente, vamos abrir o valor absoluto no membro esquerdo. Pela definição de valor absoluto temos que |10x + 14| = 10x + 14 quando 10x + 14 for maior ou igual a 0, i.e., quando x for maior ou igual à -14/10 = -7/5. E |10x + 14|  = -10x - 14 quando x< -7/5. Pois bem, separemos em duas situações:

x maior ou igual à -7/5 x < -7/5

Neste caso a expressão fica 10x + 14 maior ou igual à 37, ou seja, 10x maior igual que 23 e portanto x maior igual que 23/10.

Assim, se fizermos a intersecção do intervalo x maior igual que 23/10 com x maior igual que -7/5. Obtemos que a solução dessa situação é

S1 = {x real; x é maior ou igual à 23/10}

Neste caso, a expressão fica -10x - 14 maior igual 37, ou seja, -10x maior igual 51, daí multiplicando ambos os lados por -1/10, invertemos a desigualdade e portanto, obtemos x menor igual à -51/10.

Interseccionando x < -7/5 com x menor igual a -51/10 obtemos  x menor igual -51/10. Obtemos que a solução para essa situação é:

S2 = {x real; x menor igual a -51/10}

 

Assim, a solução para o problema é a união S1US2 = {x real; x menor igual a -51/10 e x maior igual 23/10}. Neste caso, o valor maximo de |x| é infinito.

 

CASO II: |10x + 14| menor igual a 37. Esse caso e análogo ao anterior, mas com a desigualdade invertida, assim, a solução para ele é quase que o complemento da anterior, entretanto, por conta do sinal de desigualdade possuir um igual, os valores extremos de cada intervalo que compõe a união da solução anterior, está inclusa na solução do caso II. Dessa forma, a solução aqui é S = {x real; x é menor ou igual à 23/10 e maior ou igual à -51/10}. Observe agora que, o valor absoluto máximo que x assume está em um dos extremos de S, i.e., em 23/10 ou em -51/10. Como |-51/10| = 51/10 = 5.1 e |23/10| = 23/10 = 2.3, segue que o valor máximo que |x| assume é 51/10. 

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