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1- Usando translacao dos eixos coordenados, transforme a equacao abaixo em outra, desprovida
dos temos do 1º grau e, a seguir, esboce o grafico da figura geom ?etrica encontrada, desenhando ambos os
conjuntos de eixos coordenados:
3 x^2- 2 y^2- 42 x - 4 y + 133 = 0

a) Determine o valor de a para que a funcao abaixo seja cont?nua:

f(x) =(x - 2)^2 -a, se x <ou= 3
=1/2(x + 7), se x > 3

b) Estude a continuidade da funcao:

f(x) = x^2 -7 x + 2, se x <ou= 2

= -2 x^2 + 3 x -6, se 2 < x < 5
= 5 x + 16, se x >ou= 5

João perguntou há 3 anos

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2 respostas

Professor Felipe P.

Respondeu há 3 anos

$\\3x^2+0.xy-2y^2-42x-4y+133=0 \\Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 \\\Rightarrow A=3,\ B=0,\ C=-2,\ D=-42,\ E=-4,\ F=133$

Determinar o centro:

$\left\{\begin{matrix} A.\alpha+\frac{B}{2}\beta+\frac{D}{2}=0 \\ \\ \frac{B}{2}\alpha+C.\beta+\frac{E}{2}=0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3\alpha+\frac{0}{2}\beta+\frac{-42}{2}=0 \\ \\ \frac{0}{2}\alpha+(-2).\beta+\frac{-4}{2}=0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3\alpha-21=0 \\ -2\beta-2=0 & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha=\frac{21}{3} \\\\ \beta=\frac{2}{-2} & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha=7 \\ \beta=-1 & \end{matrix}\right.$

Centro:

$(\alpha ,\beta )=(7,-1)$

$\\f(x,y)=3x^2-2y^2-42x-4y+133 \\f(\alpha,\beta)=f(7,-1)=3(7)^2-2(-1)^2-42(7)-4(-1)+133 \\f(7,-1)=147-2-294+4+133 \\f(7,-1)=-12$

Nova equação:

$\\A\bar{x}^2+B\bar{x}\bar{y}+C\bar{y}^2+f(\alpha ,\beta )=0 \\\Rightarrow 3\bar{x}^2+0\bar{x}\bar{y}-2\bar{y}^2-12=0 \\\Rightarrow 3\bar{x}^2-2\bar{y}^2-12=0$

Equação geral da hiperbole:

$3\bar{x}^2-2\bar{y}^2-12=0$

Forma canônica:

$\\3\bar{x}^2-2\bar{y}^2=12\\ \\\frac{3}{12}\bar{x}^2-\frac{2}{12}\bar{y}^2=\frac{12}{12}\\ \\\frac{\bar{x}^2}{4}-\frac{\bar{y}^2}{6}=1$

Gráfico da figura:

https://www.desmos.com/calculator/orejethzd7

2) a)

$(3+7)/2 = 10/2 = 5$

Logo,

$(3-2)^2 - a = 5$

$1^2 - a = 5$

$1 - 5 = a$

$a = -4$

Veja o gráfico

https://www.desmos.com/calculator/spi7xgw07e

2) b)

$(2)^2-7(2)+2 = 4-14+2 = -8$

$-2(2)^2+3(2)-6 = -8+6-6 = -8$

f(x) é contínua no x = 2

$-2(5)+3(5)-6=-50+15-6=-41$

$5(5)+16=41$

f(x) NÃO é contínua no x = 5

Veja o gráfico

https://www.desmos.com/calculator/ejpcbtkpbl

$f(x) = -(5x+16) ,\ x\geq 5$

daí f(x) seria contínua em x=5

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Professor Henrique N.

Respondeu há 3 anos

Oi, João!

1 - Trasladar os eixos significa movimentá-los na horizontal e vertical. Considerando um sistema de eixos coordenados convencional, movimentar a origem em $a$ (ou $b$ ) unidades para a direita (ou para cima) equivale a subtrair $a$ ( ou $b$ ) unidades de todos os termos em que a variável $x$ (ou $y$ ) aparece.

Assim, partimos da equação original

$3x^2-2y^2-42x-4y+133=0$ para outra, da forma

$3(x-a)^2-2(y-b)^2-42(x-a)-4(y-b)+133=0$ , que equivale a

$3(x^2-2ax+a^2)-2(y^2-2by+b^2)-42(x-a)-4(y-b)+133=$

$3x^2-2y^2+(-6a-42)x+(4b-4)y +(3a^2-2b^2+42a+4b+133)=0$

Queremos que os termos do primeiro grau (aqueles com $x$ e $y$ à primeira potência) se anulem, então

$\begin{cases} -6a-42 & \mbox{= 0} \\ 4b-4 & \mbox{= 0} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} a & \mbox{= -7} \\ b & \mbox{= 1} \end{cases}$

Substituindo, temos

$3x^2-2y^2+(3.49-2.1+42.(-7)+4+133) = 3x^2-2y^2-12=0$ , que equivale a

$\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{\sqrt{6}^2} = 1$ ,

e sabemos que temos, aqui, uma hipérbole de eixo semi-maior medindo $2$ e eixo semi-menor medindo $\sqrt{6}$ .

Seu esboço é como aquele do link abaixo, trocando $a$ por $2$ e $b$ por $\sqrt{6}$ (não confundir com $a$ e $b$ calculados anteriormente!)

2 - Queremos assegurar que a função $f$ é contínua, onde

$f(x) = \begin{cases} (x-2)^2-a, & \mbox{se }x\leq 3 \\ \frac{1}{2(x+7)}, & \mbox{se }x>3 \end{cases}$

Como a sua parte de cima é contínua em toda a reta, e sua parte de baixo é contínua quando $x \neq -7$ , sabemos que $f$ é contínua à esquerda de $3$ (onde assume a forma de cima) e à direita de $3$ (onde assume a forma de baixo).

Basta, então, assegurar que $f$ é contínua em $3$ . Para isto, basta que

$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$

Já sabemos, pela continuidade da parte de baixo, que

$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \frac{1}{2(3+7)} = \frac{1}{20}$ .

Então, devemos ter

$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = (3-2)^2-a =\frac{1}{20}$

ou seja,

$a = 1- \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$

3 - O procedimento é idêntico àquele da questão acima.

Se fizermos

$f_1(x) = x^2-7x+2$ , $f_2(x) = -2x^2+3x-6$ e $f_3(x) = 5x+16$ ,

teremos que

$f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \mbox{se } x \leq 2 \\f_2(x), & \mbox{se } 2<x<5 \\f_3(x), & \mbox{se } x \geq 5 \end{cases}$

Sabemos que $f_1$ , $f_2$ e $f_3$ são contínuas em seus domínios parciais, então só falta avaliar a continuidade de $f$ em $x=2$ e $x=5$

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = f_1(2) = 2^2-7.2+2 = -8$

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = f_2(2) = -2.2^2+3.2-6 = -8$

Vemos, então, que

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$

logo $f$ é contínua em $x=2$

Seguindo,

$\lim_{x \to 5^-} f(x) = f_2(5) = -2.5^2+3.5-6 = -41$

$\lim_{x \to 5^+} f(x) = f_3(5) = 5.5+16 = 41$

Logo,

$\lim_{x \to 5^-} f(x) \neq \lim_{x \to 5^+} f(x)$ ,

e então o limite não existe e a função é, portanto, descontínua em $x=5$

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