Imagine que na forma retangular os números são representados como sendo z = = A + B.i = A.x + B.y, sendo x e y os planos Real e Imaginário:
y (Plano Complexo i)
|
B.i |..... z (A,B)
| / .
| / .
| / .
|/__ ._____________ (Plano Real)
A x
Agora, imagine que na representação polar (ou trigonométrica), você está representando esse mesmo ponto pelo ângulo (âng) e raio (R) ou módulo => z = R /_âng
y (Plano Complexo) y (Plano Complexo)
| |
B.i |. . . . z (A,B) | . z (âng, Raio)
| / . => | /
| / . | R/
| / . | /
|/___._____________ x (Plano Real) |/_)âng___________ x (Plano Real)
A
Então, a primeira coisa que temos que fazer é transformar o número z= ((4-3i)/((3+4i)) em algo parecido com z = A + B.i, para obtermos os pontos A e B no planos
(4 - 3.i)
z = _________ = A + B.i
(3 + 4.i)
Para eliminar o denominador, ou em outras palavras, retirar a parte complexa, podemos multiplicá-lo pelo conjugado (3 - 4.i) =>
(3 + 4.i).(3 - 4.i) = 3^2 - (4.i)^2 = 3^2 - ((4)^2.(i)^2) = 9 - (16.(-1)) = 9 -(-16) = 25 (= número real)
Então, na nossa equação, podemos multiplar tanto o numerador quanto o numerador por (3 - 4.i)
(4 - 3.i) (3 - 4.i) 12 - 16.i -9.i + (-3.i).(-4.i) 12 - 25.i + 12.(i^2) 12 - 25.i + 12.(-1) -25.i
z = ______ . ______ = __________________ = ______________ = _____________ = ____ = -i = 0 + (-1).i = A + B.i
(3 + 4.i) (3 - 4.i) 25 (do cálculo acima) 25 25 25
Logo, temos que A = 0 e B = -1
Agora, para transformá-los em R e âng, podemos olhar novamente no gráfico abaixo:
y (Plano Complexo)
| |
B.i |. . . . . . z (A,B)
| / .
| / .
| R / .
| / .
| / .
|/_)âng.__________ x (Plano Real)
A
Substituindo os valores de A e B:
y (Plano Complexo)
|
|__________________ x (Plano Real)
|_|âng.
|
| R
|
-i | z (0,-1)
|
O raio ou módulo R é igual a hipotenusa do triangulo formado pelos pontos A e B, assim =>
R^2 = A^2 + B^2
R^2 = 0 + (-1)^2 = 1
=> R = +-1, como queremos apenas o módulo de R
|R| = +-1 = 1 (ou pela simples análise do gráfico acima)
O ângulo (âng) podemos obter a partir da tangente formada por A e B:
tan(âng) = (-1)/0 = -infinito
=> âng = arctan (-infinito) = -90 graus (ou pela simples análise do gráfico acima)
PORTANTO:
z = A + B.i = |R|/_âng
z = (4 - 3.i) /(3 + 4.i) = 1 /_-90 graus