Mostre, usando indução, que a +a 2 + ....+ an = an+1-a a-1, para a diferente de 1 e para todo n natural.
mostrar que a série Integral a infinito n n=1 converge para a 1-a quando 0 < a < 1.
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Base de indução (n=1):
a+a^2+...+a^n = a = a(a - 1) / (a-1) = (a^{1+1} - a) / (a - 1).
Passo indutivo (se vale para um inteiro k >= 1, então vale para k+1):
a + a^2 + . . . + a^{k+1} = (a + a^2 + . . . + a^k) + a^{k+1} = (a^{k+1} - a)/(a-1) + a^{k+1} = ( a^{k+1} - a + (a-1)a^{k+1} ) / (a-1) = (a^{k+2} - a) / (a-1).
Agora mostremos que
quando
A série é o limite de (a + a^2 + . . . + a^n) para n tendendo ao infinito. Mas pelo o que foi provado acima, isto é o limite de (a^{n+1} - a)/(a-1) quando n tende ao infinito.
Mas já que 0 < a < 1. Então pelas propriedades aritméticas de limite, obtemos
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