Não consigo fazer

Matemática
sendo acircunferencia de equção x²+y-2x+4y-3=0 qual a posição dos seguintes pomtos Q(1,-3) em relação a´esta circunferencia? A) Q(1,-3) B) P(-2,4)
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Gabriel perguntou há 6 anos

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Professor Marcos F.
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Respondeu há 6 anos
Olá Gabriel. Completando quadrados: (x+1)^2 -1 + (y+2)^2-4-3=0 (x+1)^2+(y+2)^2=(raiz8)^2 A circunferência tem centro C (-1, -2) e raio raiz8=2raiz2 A distância entre C e Q =raiz [(1--1)^2+(-3--2)^2] = raiz5 Como d < 2raiz2 , C é interno à circunferência. Entre P e C = raiz [ (-2-1)^2+(4--2)^2] = raiz45. Como d> 2raiz2, o ponto P é externo. Bons estudos!

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Professor André C.
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Respondeu há 6 anos
Boa tarde Gabriel. Acredito que a equação da circunferência saiu sem o quadrado do y (y²). Para determinar a posição de um ponto em uma curva, basta substituir as coordenados desse ponto e verificar o resultado da equação. Nesse caso, há três possibilidades para o lado esquerdo da equação da curva: 1 - Lado esquerdo menor do que 0 => Significa que o ponto está dentro da circunferência. Ou seja, a distância desse ponto ao centro da circunferência é menor do que o raio da mesma; 2 - Lado esquerdo igual a 0 => Significa que o ponto está situado na borda da circunferência. Ou seja, esse ponto pertence ao contorno da circunferência e sua distância ao centro da mesma é igual ao raio; 3 - Lado esquerdo maior do que 0 => Significa que o ponto está fora da circunferência. Ou seja, a distância desse ponto ao centro da circunferência é maior do que o raio da mesma. Sabendo disso, temos que para descobrir a posição do ponto Q = (-1, 3) é preciso substituir na equação da curva os valores de suas respectivas coordenadas. Logo, temos que: x² + y² -2x + 4y - 3 = 0 (-1)² + 3² - 2·(-1) + 4·3 - 3 = 0 1 + 9 + 2 + 12 - 3 = 0 21 = 0 (Isso não é verdade!) Conclusão: O ponto Q não pertence a circunferência estando fora da região delimitada por essa curva. Analogamente para o ponto P = (-2, 4), temos que: x² + y² -2x + 4y - 3 = 0 (-2)² + 4² - 2·(-2) + 4·4 - 3 = 0 4 + 16 + 4 + 16 - 3 = 0 37 = 0 (Isso não é verdade!) Conclusão: O ponto P não pertence a circunferência estando fora da região delimitada por essa curva.
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Professor Nonato C.
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Respondeu há 6 anos

DADOS:

Circunferência:

x² + y² - 2x + 4y - 3 = 0
(Você esqueceu o quadrado elevando o y no enunciado do exercício)

Pontos:

Q(1,-3)

P(-2,4)

PEDIDO:

A) A posição de Q em relação à circunferência

B) A posição de P em relação à circunferência

RESOLUÇÃO;

A equação de uma circunferência qualquer de centro C (xc, yc) e raio R tem a seguinte forma abaixo:

(x - xc)² + (y - yc)² = R²

A distância entre um ponto P (xp, yp) qualquer e o centro C (xc, yc) da circunferência tem a seguinte forma abaixo:

d = Raiz quadrada ( (xp - xc)² + (ya - yc)² )

Para sabermos a posição de um ponto P (xp, yp) em relação à circunferência deveremos comparar a distância entre P e C com o raio R:

- Se d é menor que R, o ponto P é interno à circunferência;

- Se d é igual a R, o ponto P é pertencente à circunferência;

- Se d é maior que R, o ponto P é externo à circunferência.

Portanto, o primeiro passo é completar os quadrados da equação da circunferência dada para depois chegar a sua forma mais simplificada apresentada acima.

x² + y² - 2x + 4y - 3 = 0

x² - 2x + y² + 4y = 3

Completando os membros da equação acima com 1 e 4 dos dois lados para obtermos trinômios quadrados perfeitos teremos abaixo:

(x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 3 + 1 + 4

(x - 1)² + (y + 2)² = 8

Portanto a circunferência dada tem:

- centro C = (1, -2);

- R = Raiz quadrada (8) = Raiz quadrada (2³) = 2. Raiz quadrada (2) = 2. 1,41 (aproximadamente) = 2,82 (aproximadamente)

Assim, a distância entre um ponto P (xp, yp) qualquer e o centro C (1, -2) da circunferência tem a seguinte forma abaixo:

d = Raiz quadrada ( (xp - xc)² + (ya - yc)² )

d = Raiz quadrada ( (xp - 1)² + (ya + 2)² )

A) Aplicando a última equação acima para o ponto Q(1,-3) teremos abaixo:

d = Raiz quadrada ( (1 - 1)² + (-3 + 2)² )

d = Raiz quadrada ( 0 + (-1)² )

d = 1, a qual é menor que o raio R = 2,84 da circunferência. Logo, O PONTO Q É INTERNO À CIRCUNFERÊNCIA.

B) Aplicando a última equação acima para o ponto P(-2,4) teremos abaixo:

d = Raiz quadrada ( (-2 - 1)² + (4 + 2)² )

d = Raiz quadrada ( (-3)² + (6)² )

d = Raiz quadrada ( 9 + 36 )

d = Raiz quadrada ( 45 )

d = Raiz quadrada ( 3².5 )

d = 3 . Raiz quadrada (5)

d = 3 . 2,24 (aproximadamente)

d = 6,72, a qual é maior que o raio R = 2,84 da circunferência. Logo, O PONTO P É EXTERNO À CIRCUNFERÊNCIA.

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Professor Danilo C.
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Respondeu há 6 anos
Basta substituir os valores dos pontos nos lugares de x e y no primeiro membro da equação. Se o resultado for < 0, o ponto está dentro da circunferência; se for > 0, o ponto está fora; e se for = 0, estará contido na circunferência.
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Professora Christiane M.
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Respondeu há 6 anos
A equação descrita não é de uma circunferência pois não obedece a forma geral (X-Cx)^2 + (y-Cy)^2 = Raio^2. Confira se não é x²+y²-2x+4y-3=0. Nesse caso, trabalhando e completando os quadrados perfeitos tem-se: x²-2x+ y²+4y -3=0+4y-3=0 acrescentando os valores que falta e retirando para não alterar a relação, (x²-2.x.1 +1)-1 + (y²+2. y. 2 + 4) - 4 - 3=0 (x-1)^2 + (y+2)^2 = 8 Essa circunferência tem centro em (Cx,Cy) dados por Cx = 1 e Cy = -2. O Raio tem comprimento de Raiz de 8. Raio = 2,83 aproximadamente. Para saber onde se localiza os pontos em relação a circunferência basta calcular a distância entre os pontos (d = raiz (Cx-Px)^2+(Cy-Py)^2 ) e o centro da circunferência e comparar. Centro (1,-2) e Q(1,-3) d = raiz de (1-1)^2 + [-3-(-2)]^2 d = raiz de 0^2 + (-1)^2 d = raiz de 1 = 1 ===> Comparando o resultado 1 com o raio de 2,83 aproximadamente, conclui-se que o ponto está dentro da circunferência, pois 1< 2,83. Agora é só repetir o mesmo para o ponto P(-2,4).

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Professor João N.
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Respondeu há 2 anos

Boa noite, Gabriel!

Vamos completar os quadrados da equação para determinar a equação geral desta circunferência:

, e daí obtemos , ou seja, uma circunferência com centro em e raio .

 

a) Para verificar a relação entre o ponto e a circunferência, vamos calcular a distância entre e :

. Como , temos que é um ponto interno à circunferência.

 

b) Agora, vamos calcular a distância entre e :

. Como , temos que é um externo à circunferência.

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