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DADOS:
Circunferência:
x² + y² - 2x + 4y - 3 = 0
(Você esqueceu o quadrado elevando o y no enunciado do exercício)
Pontos:
Q(1,-3)
P(-2,4)
PEDIDO:
A) A posição de Q em relação à circunferência
B) A posição de P em relação à circunferência
RESOLUÇÃO;
A equação de uma circunferência qualquer de centro C (xc, yc) e raio R tem a seguinte forma abaixo:
(x - xc)² + (y - yc)² = R²
A distância entre um ponto P (xp, yp) qualquer e o centro C (xc, yc) da circunferência tem a seguinte forma abaixo:
d = Raiz quadrada ( (xp - xc)² + (ya - yc)² )
Para sabermos a posição de um ponto P (xp, yp) em relação à circunferência deveremos comparar a distância entre P e C com o raio R:
- Se d é menor que R, o ponto P é interno à circunferência;
- Se d é igual a R, o ponto P é pertencente à circunferência;
- Se d é maior que R, o ponto P é externo à circunferência.
Portanto, o primeiro passo é completar os quadrados da equação da circunferência dada para depois chegar a sua forma mais simplificada apresentada acima.
x² + y² - 2x + 4y - 3 = 0
x² - 2x + y² + 4y = 3
Completando os membros da equação acima com 1 e 4 dos dois lados para obtermos trinômios quadrados perfeitos teremos abaixo:
(x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 3 + 1 + 4
(x - 1)² + (y + 2)² = 8
Portanto a circunferência dada tem:
- centro C = (1, -2);
- R = Raiz quadrada (8) = Raiz quadrada (2³) = 2. Raiz quadrada (2) = 2. 1,41 (aproximadamente) = 2,82 (aproximadamente)
Assim, a distância entre um ponto P (xp, yp) qualquer e o centro C (1, -2) da circunferência tem a seguinte forma abaixo:
d = Raiz quadrada ( (xp - xc)² + (ya - yc)² )
d = Raiz quadrada ( (xp - 1)² + (ya + 2)² )
A) Aplicando a última equação acima para o ponto Q(1,-3) teremos abaixo:
d = Raiz quadrada ( (1 - 1)² + (-3 + 2)² )
d = Raiz quadrada ( 0 + (-1)² )
d = 1, a qual é menor que o raio R = 2,84 da circunferência. Logo, O PONTO Q É INTERNO À CIRCUNFERÊNCIA.
B) Aplicando a última equação acima para o ponto P(-2,4) teremos abaixo:
d = Raiz quadrada ( (-2 - 1)² + (4 + 2)² )
d = Raiz quadrada ( (-3)² + (6)² )
d = Raiz quadrada ( 9 + 36 )
d = Raiz quadrada ( 45 )
d = Raiz quadrada ( 3².5 )
d = 3 . Raiz quadrada (5)
d = 3 . 2,24 (aproximadamente)
d = 6,72, a qual é maior que o raio R = 2,84 da circunferência. Logo, O PONTO P É EXTERNO À CIRCUNFERÊNCIA.
Boa noite, Gabriel!
Vamos completar os quadrados da equação para determinar a equação geral desta circunferência:
, e daí obtemos , ou seja, uma circunferência com centro em e raio .
a) Para verificar a relação entre o ponto e a circunferência, vamos calcular a distância entre e :
. Como , temos que é um ponto interno à circunferência.
b) Agora, vamos calcular a distância entre e :
. Como , temos que é um externo à circunferência.
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