Números complexos e polinômios

Question

1) Sendo z=1-i, um número complexo, determine : a) a forma trigonométrica de z. b) quanto vale z^100.  2) Determine os números reais a e b tais que (a-bi)^2=5+12i  3) Sabe-se que o polinômio p(x)=x^3+mx^2+nx+p se anula-se par x=2, x=1 e x=-1. Sabemos também que o polinômio q(x)=x^2-ax+1 é divisível por x-1. Determine o resto da divisão de p(x) por q(x).  4) Quando dividimos o polinômio P(x) por (x-2), obtemos resto 5 e quando dividimos por (x+1), obtemos resto -2. Determine o resto da divisão do polinômio p(x) por (x-2)(x+1).

Emerson M. · Accepted Answer

1) b) Tome i^2 = -1, daí: (1-i)^2 = (1-i)(1-i) = 1-i-i + i^2 = 1-2i-1 = -2i.  Logo, (1-i)^100 = ((1-i)^2)^50 = (-2i)^50 = (2)^50.(-i)^50 = (2)^50 . (-1) = - 2^50   2) (a-bi)^2 = 5 +12i (a-bi)(a-bi) = 5+12i a^2 - abi - abi - b^2 = 5+12i (a^2 - b^2) - 2abi = 5 +12i  a^2 - b^2 = 5 (I) - 2abi = 12i (II)  Por (II), temos: ab = -6  -> a = -6/b Substituindo a em (I): (-6/b)^2 - b^2 = 5 36/b^2 - b^2 = 5 36 -b^4/b^2 = 5b^2/b^2 Multiplicando por(-1), temos: b^4 +5b^2 -36 = 0 Tome b^2 = x, logo: x^2 + 5x -36 = 0 Fazendo delta = 5^2 -4a.c delta = 169 As raízes dessa equação são: x = 4 ou x = -9 como x = b ^2, usando 4 = b^2 , temos que b = +-2, para x = -9 não temos solução real.  Logo, os valores de a podem ser: a = -6/2 = - 3 a = -6/-2 = 3

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