O volume de água, em litros, em um reservatório é dado por v(t)=a*b^t, sendo a e b constantes positivas

Ele quer saber em quanto tempo um volume inicial qualquer se reduzirá à metade. Encontradas as constantes você faz: V(t) = a*b^t aplicando o operador Logaritmo dos dois lados da equação teremos: log(V)= log(a*b^t) Usando propriedades de logaritmos (que log(M*N)= logM + logN ), sabemos que o termo log(a*b^t) pode ser escrito como: log(a) + log(b^t) Nossa equação está: log(V)=log(a) + log(b^t) O expoente "t" será tombado para frente do logaritmo, também devido à propriedades de logaritmos, e assim teremos: log(V)=log(a) + t*log(b) O valor de V será 1/2 a=9 b=1/3 decorre: log(1/2)=log(9) + t*log(1/3) -0,3 = log3² + t*(-1/2) -0,3 = 2* log3 + t*(-1/2) -0,3 = 1 + t*(-1/2) -0,3 -1 = t*(-1/2) {multiplica os dois lados por -1} 0,3 +1 = t*(1/2) t= 2,6

Para resolver o problema, precisamos encontrar o valor de "t" no qual o volume de água é reduzido à metade.

Sabemos que a função que descreve o volume de água em função do tempo é dada por V(t) = a * (b^t), onde "a" e "b" são constantes.

Dado que v(1) = 3 e v(2) = 1, podemos escrever as seguintes equações:

V(1) = a * (b^1) = 3 V(2) = a * (b^2) = 1

Dividindo a segunda equação pela primeira, podemos eliminar "a":

V(2)/V(1) = (a * (b^2))/(a * (b^1)) 1/3 = b^2/b 1/3 = b

Agora que encontramos o valor de "b", podemos substituí-lo em uma das equações originais para encontrar o valor de "a":

3 = a * (1/3)^1 3 = a/3 a = 9

Portanto, a função que descreve o volume de água é V(t) = 9 * (1/3)^t.

Agora, queremos encontrar o valor de "t" no qual o volume de água é reduzido à metade. Isso significa que queremos encontrar o valor de "t" para o qual V(t) = 1/2. Substituindo na equação:

1/2 = 9 * (1/3)^t

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 9:

1/18 = (1/3)^t

Agora, vamos utilizar as propriedades dos logaritmos para resolver a equação. Tomando o logaritmo dos dois lados da equação:

log(1/18) = log((1/3)^t)

Usando a propriedade do logaritmo que diz que log(a^b) = b * log(a), temos:

log(1/18) = t * log(1/3)

Agora, podemos isolar "t" dividindo ambos os lados por log(1/3):

t = log(1/18) / log(1/3)

Usando os valores aproximados log2 = 0.3 e log3 = 0.5, podemos calcular:

t 0.3 / 0.5

t 0.6

Portanto, o tempo necessário para que o volume de água seja reduzido à metade é de aproximadamente 0.6 horas.

V(t) = a.b^t 

V(1) = 3, V(2) = 1

Tempo necessário para que o volume de água seja reduzido pela metade = ?

RESOLUÇÃO:

V(1) = 3 -> 3 = a.b (I)

V(2) = 1 -> 1 = a.b² (II)

Dividindo a equção (II) pela equação (I) teremos:

1/3 = b 

Logo, a = 9

Portanto, V(t) = 9.(1/3)^t

V(t)/2 -> t´ = ?

V(t)/2 = 9.(1/3)^t´ -> 9.(1/3)^t/2 = 9.(1/3)^t´ -> (1/3)^t - t´ = 2 (xlog) -> t - t´(-log3) = log2 -> t` - t = log2/log3 -> t´ - t = 0,3/0,5 = 0,6h

Logo, demorou cerca de 0,6h (36min) para que o volume de água fosse reduzido pela metade.