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Olá, Sousa!
Para resolvermos essa questão aplicamos diretamente o teorema de green na integral de caminho. O teorema diz que se temos uma integral de caminho de funções escritas como F.dx + G.dy isso pode ser escrito como a integral dupla de dG/dx - dF/dy. Em nosso caso temos F = -y² e G = xy, e podemos começar calculando as derivadas dessas funções.
dG/dx = d(xy)/dx = y
dF/dy = d(-y²)/dy = -2y
Assim ficamos com a integral dupla de dG/dx - dF/dy = 3y, pelo quadrado de lado um no primeiro quadrante, definido por
D = {(x,y) | 0 <= x <= 1 e 0<= y <= 1}. Portanto os limites de nossa integral serão 0 a 1 para a integral em x e 0 a 1 para a integral em y.
∫0¹∫0¹ 3y.dx.dy = 3∫0¹ (yx)|0¹
= 3∫0¹ (y.1 - y.0)dy = 3∫0¹ y.dy
= 3(y²/2)|0¹ = 3(1/2 - 0/2) = 3/2.
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|(0,1)|(0,1) y- (-2y)=|| 3y dx dy= | 3y=3-0=3. {"|" Significa integral}
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