Olá, necessito como ajuda a solução geral da seguinte equação diferencial:

Question

4y'' - 4y' - 3y=0 com y(0)=1 e y'(0)=5

Antonio F. · Answer

Bom, vamos lá. A equação diferencial é 4y'' - 4y' - 3y=0, com y(0)=1 e y'(0)=5. Sabemos que a solução é da forma y(x) = C1.y1(x) + C2.y2(x) Utilizando y = e^(r.x), sabemos que y’ = r.e^(r.x),  e  y”= r².e^(r.x). Substituindo na equação dada, encontramos a equação característica: 4.r² - 4.r -3 =0, onde r1 = 3/2     e r2 = -1/2. Então, y(x) = C1. e^(3x/2) + C2.e^(-x/2). Utilizando as condições de contorno para encontrar as constantes C1 e C2. y(0) = 1 y(0) = C1. e^0 + C2.e^0 = C1 + C2 = 1  (*) y’(0) = 5 y’(x) = (3/2).C1. e^(3x/2) – (1/2).C2.e^(-x/2) y’(0) = (3/2).C1.e^0 – (1/2).C2.e^0 = 3/2.C1 – ½.C2 = 5 (**) Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas (*) e (**): C1 + C2 = 1     e  3C1 – C2 = 10, encontramos: C1 = 11/4 C2 = 1 – 11/4 = -7/4. A solução da equação diferencial é: y(x) = (11/4).e^(3x/2) – (7/4).e^(-x/2). Espero ter ajudado. Prof_chianeli@telcomwiz.com.br WhatsApp: 21979303636

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