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Question

Considere as afirmativas: I. O n&uacute;mero -&radic;2/2+&radic;2/2i &eacute; uma raiz quadrada de -i. II. As quatro ra&iacute;zes de (x&sup2;+1)(x&sup2;-2x+2)=0 s&atilde;o i, -i, 1+i, 1+i. III. O n&uacute;mero 1/2-&radic;3/2i &eacute; uma raiz x&sup3;-1=0. Assinale a alternativa correta: a) Somente a afirmativa I &eacute; verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II s&atilde;o verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e III s&atilde;o verdadeiras. d) Somente a afirmativa II &eacute; verdadeira. e) Somente as afirmativas II e III s&atilde;o verdadeiras

Eduardo O. · Answer

I. O número -v2/2+v2/2i é uma raiz quadrada de -i.  Substituindo e expandindo,  (-v2/2+v2/2i) ^ 2 = 1/2 + i -1/2 = +i  Portanto I é falsa   II. As quatro raízes de (x²+1)(x²-2x+2)=0 são i, -i, 1+i, 1+i.  Podemos achar as raízes de cada fator:  x^2+1 = 0 x^2 = -1 x = +/- v(-1) = +/- i  x^2-2x+2 = 0 x = (2 +/- v(-4)) / 2 = 1 +/- i  Portanto as raízes são i, -i, 1+i, 1-i . Como no enunciado temos 1+i repetido, a alternativa não pode ser considerada correta  III. O número 1/2-v3/2i é uma raiz x³-1=0.  Substituindo,  (1/2 - v3/2i) ^3 -1 = (1/4 - v3/2i - 3/4)(1/2 - v3/2i) - 1 = (-1/2 - v3/2i)(1/2 - v3/2i) -1 = -(1/2 - v3/2i)(1/2 - v3/2i) -1 =  -(1/4 - v3/2i -3/4) -1= -(-1/2 - v3/2i) -1= -1/2 + v3/2i  Portanto,  nenhuma das alternativas é correta.

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