(a) Dado o polinômio p(x) = x4 – a.x3 + a.x2 – a.i – 3, sendo a um número real, determine o valor de a, sabendo que esse polinômio admite o número – i como raiz.
(b) Determine o quociente Q(x) e o resto R(x) na divisão do polinômio A(x) = 2x4-x3+x2+x+3 por B(x) = x3+2x2-x+3.
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Boa noite Henrique.
(a) Dado o polinômio p(x) = x4 – a.x3 + a.x2 – a.i – 3, sendo a um número real, determine o valor de a, sabendo que esse polinômio admite o número – i como raiz.
Encontrei uma inconsistência neste enunciado:
- Se a raiz for (-i), o "a" não é um número real.
- Para "a" ser um número real, a raiz admitida seria (i).
Com -i como raíz do polinômio, temos que:
(-i)4 – a.(-i)3 + a.(-i)2 – a.i – 3=0
1-ai-a-ai-3=0
-2-a-2ai=0
2+a+2ai=0 (neste caso, não há uma solução para que a seja um número real como no enunciado)
Com i como raíz do polinômio, temos que:
(i)4 – a.(i)3 + a.(i)2 – a.i – 3=0
1+ai-a-ai-3=0
-2-a=0
a=-2
(b) Determine o quociente Q(x) e o resto R(x) na divisão do polinômio A(x) = 2x4-x3+x2+x+3 por B(x) = x3+2x2-x+3.
Pelo método de chaves temos:
2x4-x3+x2+x+3 |__ x3+2x2-x+3 (desculpe, não consigo desenhar a chave...rsrsr)
- 2x-5
2x4+4x3-2x2+6x
________________
-5x3+3x2-5x+3
-
-5x3-10x2+5x-15
__________________
13x2-10x+18
Q(x) = 2x-5
R(x) = 13x2-10x+18
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