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Olá Marcos,
Os coeficientes no binômio de Newton podem ser arranjados em algo conhecido como triângulo de Pascal(*). Nesse triângulo, a primeira linha corresponde a expansão (x + y)0, a segunda a (x + y)1, a terceira a (x + y)2 e assim sucessivamente. Contudo, em binômios na forma (x - y)n, o sinal dos coeficientes irão se alternar entre +1 e -1. Assim, o resultado da soma dos coeficientes para esse tipo de expansão serão sempre zero.
Uma outra maneira de se chegar a este resultado é calcular o binômio manualmente. O binômio de Newton pode ser determinado por
em que
Logo,
Perceba que os sinais de menos surgiram devido ao termo -y estar elevado a potências ímpares. Reescrevendo 6! como 6 . (6 - 1) . (6 - 2) . (6 - 3)... tem-se que
Assim, a soma dos coeficientes é
Espero que seja útil. :)
*: https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle
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Olá, para saber a soma dos coeficientes de um binômio basta substituir o valor das incógnitas por 1.
No exercício em questão, por exemplo, você tem o binômio . Fazendo e temos:
Logo, a soma dos coeficientes de é igual a 0.
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