Probabilidade!

Professora Claudia S.

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BOA TARDE!

A probabilidade de uma pessoa ter olhos claros é de 20%. Qual é a probabilidade de sortear num grupo de três pessoas pelo menos duas de olhos claros? a)6,67%   b)8% c)9,6% d)1...

A probabilidade de uma pessoa ter olhos claros é de 20%. Qual é a probabilidade de sortear num grupo de três pessoas pelo menos duas de olhos claros? a)6,67%   b)8% c)9,6% d)1...

tEORIA

PROBABILIDADE Consideremos um experimento com resultados imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, cada repetição desse experimento é impossível prever com certeza qual o resultado que será obtido, e além disso, a ocorrência de um deles exclui os demais. É o caso do lançamento de uma moeda, cujos possíveis resultados são: cara, coroa; ou então, o lançamento de um dado, com resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Todo experimento desta natureza chama-se de experimento aleatório, e seus possíveis resultados, mutuamente exclusivos, são chamados de eventos simples. Diremos que um é determinístico quando repetido em condições iguais conduz a resultados idênticos. Os experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes são chamados experimentos aleatórios. O espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os seus eventos simples. No caso do lançamento do dado, o espaço é igual a U = {1,2,3,4,5,6}. Os elementos do espaço amostral são chamados eventos elementares. Os subconjuntos do espaço amostral serão chamados eventos. Por exemplo, o subconjunto A = {2,3,5} é o evento que ocorre se o número mostrado na face de cima é primo. Para calcular a probabilidade de um evento A, iremos considerar o caso do evento A = {2,3,5} do nosso exemplo. É claro intuitivamente que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a metade dos casos. Se os eventos elementares são todos equiprováveis e se o número de elementos de A é a metade dos elementos do espaço amostral. A probabilidade do evento A, será calculada da seguinte forma: probabilidade de #(A) 3 1 A . #( ) 6 2 = = = ? Suponha que um experimento aleatório tem as seguintes características: a) Há um número finito (digamos n) de eventos elementares (casos possíveis). A união de todos os eventos elementares é o espaço amostral U. b) Os eventos elementares são igualmente prováveis. c) Todo evento A é uma união de m eventos elementares onde m ? n. Definimos, então: Probabilidade de número de casos favoráveis A P(A) número de casos possíveis = = #(A) m. #(U) n = = São consequências imediatas desta definição as seguintes propriedades: 1. Para todo evento A, 0 ? P(A) ? 1; 2. P(U) = 1; 3. P(?) = 0 (porque #(?) = 0; 4. Se A ? B = ? então P(A ? B) = P(A) + P(B). 5. Se A ? B ? ? então P(A ? B) = P(A) + P(B) – P(A ? B). TEOREMA - PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR P(AC) = 1 – P(A) PROBABILIDADE CONDICIONAL Para iniciar o conceito do que é probabilidade condicional, vamos considerar o seguinte problema. Suponha que um redator de um jornal recebeu 120 cartas de leitores sobre uma demissão polêmica de um professor universitário, mas o redator só pode publicar uma destas cartas, que será escolhida ao acaso. As cartas foram escritas por alunos ou por pais, algumas apoiam o reitor que demitiu o professor, outras apoiam o professor, e estão dividias conforme o quadro abaixo: ESTUDANTES PAIS Apoiam o professor 16 44 Apoiam o reitor 8 52 A situação pode também ser representada pelo diagrama de Venn, onde E representa o conjunto das cartas que foram escritas pelos estudantes e P representa o conjunto de cartas que foram escritas em apoio ao professor. Como podemos ver, a probabilidade de retirar uma carta escrita por um estudante que apoia o professor é ( ) 16 2 PE P 120 15 ?= = . Para calcular qual a probabilidade de uma carta apoiar o professor dado que foi escrita por um estudante, temos ( ) ( ) ( ) 16 PP E 120 16 P P|E P E 24 24 120 ? = = = , ou ( ) n° de elementos de P E 16 P P|E n° de elementos de E 24 ? = = . Generalizando a partir do nosso exemplo, vamos definir probabilidade condicional. Se A e B são eventos de um espaço amostral S e P(B) ? 0, então a probabilidade do evento A ocorrer dado que ocorreu B é representada P (A|B) e é dada por ( ) ( ) ( ) PA B P A|B P B ? = , P(B) ? 0. 24 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR REGRA DO PRODUTO DE PROBABILIDADES Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência, ou não ocorrência de um deles não influi na ocorrência do outro, isto é: P(A|B) = P(A) ou ainda, P(A ? B) = P(A) · P(B) PROPOSIÇÕES Sejam A, B e C eventos de algum espaço amostral S. Então, • P(? | A) = 0, P(S | A) = 1 e 0 ? P(B | A) ? 1 • P((B ? C) | A) = P(B | A) + P(C | A), se B ? C = ? TEOREMA DE BAYES Sejam A1 , A2 , ..., Ap eventos disjuntos e p i i 1 B A = ? ? ,então p i i i 1 P(B) P(A ).P(B | A ) = =? e, k k k 11 p p P(A ) .P(B | A ) P(A | B) P(A ) .P(B | A ) ... P(A ) .P(B | A ) = + + . DISTRIBUIÇÃO BINOMINAL A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma sequência de n provas independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova é p, igual a ( ) n k n k p1p . k ? ? ? ? ? ? ? ? Exemplo: Jogamos uma moeda não viciada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras? Solução: Pondo sucesso = cara, temos p = 1/2 em cada prova e as provas são independentes. Queremos achar a probabilidade de k = 5 sucessos em n = 10 provas. Pelo teorema binominal, a resposta é 5 5 10 1 1 252 63 1 . 5 2 2 1024 256 ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ?= = ? ?? ?? ? EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade da soma ser menor do que 4? a) 1/6 b) 1/8 c) 1/12 d) 1/16 02. Um número inteiro é escolhido ao acaso entre 1 e 20 inclusive. Qual a probabilidade de o número escolhido ser um quadrado perfeito? a) 1 20 b) 1 10 c) 3 20 d) 1 5 03. Uma urna contém bolas verdes e azuis. Sabe-se que a probabilidade de se retirar uma bola azul é de 6/11 A probabilidade de ser retirada, em uma única tentativa, uma bola verde é de a) 1/11 b) 2/11 c) 4/11 d) 5/11 04. Jogando-se um dado comum de seis faces e não viciado, a probabilidade de ocorrer um número primo e maior que 4 é de a) 1/3 b) 1/2 c) 1/6 d) 2/3 e) 5/6 05. Dentre os números inteiros de 1 a 50, um número é escolhido aleatoriamente. Qual a probabilidade de ele divisível por 5? a) 1/50 b) 1/5 c) 1/2 d) 3/4 06. A probabilidade de um jogador de futebol marcar o gol ao cobrar um pênalti, é de 80%. Se esse jogador cobrar dois pênaltis consecutivos, a probabilidade dele fazer o gol, em ambas as cobranças, é igual a: a) 16% b) 20% c) 32% d) 64% e) 80% 07. Um aluno da ESA tem uma habilidade muito boa nas provas de tiro com pistola, possuindo um índice de acerto no alvo de quatro em cada cinco tiros. Se ele atirou duas vezes, a probabilidade de que ele tenha errado os dois tiros é: a) 16/25 b) 8/25 c) 1/5 d) 2/5 e) 1/25 08. Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. A probabilidade desse número ser par é: a) 1/3 b) 2/5 c) 3/5 d) 2/3 e) n.r.a. 09. Uma urna contém 3 bolas verdes e 4 amarelas. Ao retirar, sem reposição, duas bolas, a probabilidade delas serem amarelas é a) 2/7 b) 3/7 c) 4/7 d) 6/7 10. No lançamento de 2 dados, qual a probabilidade de que a soma dos dois seja 8, supondo que no 1º resultado tenha sido menor que 5? a) 10% b) 12,5% c) 14% d) 16,5% EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO 01. (EEAR) Uma urna contém bolas verdes e azuis. Sabe-se que a probabilidade de se retirar uma bola azul é de 6 . 11 A probabilidade de ser retirada, em uma única tentativa, uma bola verde é de a) 1 11 b) 2 11 c) 4 11 d) 5 11 02. (EFOMM) Um atirador, em um único tiro, tem probabilidade de 80% de acertar um específico tipo de alvo. Num exercício ele dá seis tiros seguidos nesse mesmo tipo de alvo. Considerando-se que os tiros são independentes, em cálculo aproximado, qual é a probabilidade de o atirador errar o alvo exatamente duas vezes? a) 4,12% b) 18,67% c) 24,58% d) 27,29% e) 40,25% 03. (EFOMM) Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Em valores aproximados, qual é a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor? a) 7,44% b) 8,33% c) 9,17% d) 15,95% e) 27,51% 04. (EFOMM) Um garoto dispõe de um único exemplar de cada poliedro de Platão existente. Para brincar, ele numerou cada vértice, face e aresta de cada poliedro sem repetir nenhum número. Em 25 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR seguida, anotou esses números no próprio poliedro. Se ele sortear um dos números usados, aleatoriamente, qual será a probabilidade de o número sorteado representar um vértice? a) 5 9 b) 5 14 c) 1 3 d) 5 19 e) 1 10 05. (EFOMM) Um programa de auditório tem um jogo chamado “Porta Premiada”, que funciona da seguinte maneira: 1º. há três portas: uma tem prêmios e duas estão vazias; 2º. o apresentador pede ao convidado que escolha uma das portas; 3º. após a escolha, o apresentador abre uma das duas portas não escolhidas. Como ele sabe qual é a premiada, abre uma vazia; 4º. depois de aberta uma das portas, ele pergunta ao convidado se deseja trocar de porta; 5º. finalmente, abre a porta do convidado para verificar se ganhou ou perdeu. Analisando o jogo de forma puramente probabilística, verifique qua(l) (is) das estratégias abaixo tem a maior probabilidade de vencer o jogo. I. Após escolher a porta, não trocá-la até o final do jogo. II. Todas as probabilidades são iguais; não há estratégia melhor que a outra, ou seja, tanto faz trocar ou não a porta. III. A melhor estratégia é sempre trocar a porta. Sobre as estratégias I, II e III apresentadas, é correto afirmar que a) somente a alternativa I está correta. b) somente a alternativa II está correta. c) somente a alternativa III está correta. d) nenhuma alternativa está correta. e) todas as alternativas apresentam circunstâncias com a mesma probabilidade de vencer. 06. (EFOMM) Um atleta de tiro ao prato tem probabilidade de 0,9 de acertar o prato a cada novo lançamento. Analisando esse jogador antes do início da competição, após quantos lançamento de pratos, a probabilidade de ele não ter acertado todos os tiros se tornará maior que a probabilidade de acertar todos? a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 07. (EFOMM) Seis alunos da EFOMM – três paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados em uma fila aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro? a) 3 31 b) 1 36 c) 1 24 d) 1 12 e) 1 6 08. (EFOMM) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a,b,c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b ou que a, b e c sejam primos? a) 4 216 b) 27 216 c) 108 216 d) 31 216 e) 10 216 09. (AFA) Pela legislação brasileira, atualmente, os ditos “Jogos de Azar” estão proibidos. Tais jogos são, na maioria das vezes, sustentados pelas perdas dos jogadores que financiam os que vão ter sorte. Esses jogos têm por condição de existência que, na diferença entre as probabilidades de sorte e azar, predomine o azar. Ainda que proibidos, bancas de alguns desses jogos são comumente encontradas em festas populares Brasil afora. Exemplo desses jogos é aquele em que o jogador tem 1 bolinha para lançar sobre uma rampa, levemente inclinada, e deverá acertar uma das “casinhas” numeradas de 1 a 6. Geralmente, o dono da banca de jogo impõe condições para que o jogador ganhe um prêmio. Suponha que uma condição de sorte seja, desconsiderando quaisquer outras influências, lançar a bolinha três vezes sucessivas de modo que, ao final dos três lançamentos, seja observado que a soma dos números das casinhas é igual a 12. Desse modo, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é a) menor que 3%. b) maior que 8% e menor que 10%. c) maior que 11% e menor que 13%. d) superior a 13%. 10. (AFA) Durante o desfile de Carnaval das escolas de samba do Rio de Janeiro em 2017, uma empresa especializada em pesquisa de opinião entrevistou 140 foliões sobre qual agremiação receberia o prêmio de melhor do ano que é concedido apenas a uma escola de samba. Agrupados os resultados obtidos, apresentaram-se os índices conforme o quadro a seguir: Agremiação escolhida A B C A e B A e C B e C A, B e C Nº de foliões que escolheram 77 73 70 20 25 40 5 A respeito dos dados colhidos, analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). ( ) Se A for a agremiação vencedora em 2017 e se um dos foliões que opinaram for escolhido ao acaso, então a probabilidade de que ele NÃO tenha votado na agremiação que venceu é igual a 45%. ( ) Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele tenha indicado exatamente duas agremiações é de 50%. ( ) Se a agremiação B for a campeã em 2017, a probabilidade de que o folião entrevistado tenha indicado apenas esta como campeã é menor que 10%. A sequência correta é a) V – V – F b) F – V – V c) F – V – F d) V – F – V 11. (AFA) Num auditório da Academia da Força Aérea estão presentes 20 alunos do Curso de Formação de Oficiais Aviadores dos quais apenas 10 usam agasalho. Estão presentes, também, 25 alunos do Curso de Formação de Oficiais Intendentes dos quais apenas 15 usam agasalho. Um dos alunos presentes é escolhido ao acaso. É correto afirmar que é igual a 2 9 a probabilidade de que o aluno escolhido a) seja do Curso de Formação de Oficiais Intendentes ou use agasalho. b) use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de Oficiais Intendentes. c) seja do Curso de Formação de Oficiais Aviadores que não use agasalho. d) não use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de Oficiais Aviadores. 12. (AFA) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos. 26 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B. A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é a) 8 81 b) 15 81 c) 18 81 d) 23 81 13. (AFA) Um jogo é decidido com um único lançamento do dado cuja planificação está representada abaixo. Participam desse jogo quatro pessoas: Carlos, que vencerá o jogo se ocorrer face preta ou menor que 3; José vencerá se ocorrer face branca e número primo; Vicente vencerá caso ocorra face preta e número par; Antônio vencerá se ocorrer face branca ou número menor que 3. Nessas condições, é correto afirmar que a) Vicente não tem chance de vencer. b) Carlos tem, sozinho, a maior probabilidade de vencer. c) a probabilidade de José vencer é o dobro da de Vicente. d) a probabilidade de Antônio vencer é maior do que a de Carlos. 14. (AFA) Distribuiu-se, aleatoriamente, 7 bolas iguais em 3 caixas diferentes. Sabendo-se que nenhuma delas ficou vazia, a probabilidade de uma caixa conter, exatamente, 4 bolas é a) 25% b) 30% c) 40% d) 48% 15. (AFA) Um dado cúbico tem três de suas faces numeradas com “0”, duas com “1” e uma com “2”. Um outro dado, tetraédrico, tem duas de suas faces numeradas com “0”, uma com “1” e uma com “2”. Sabe-se que os dados não são viciados. Se ambos são lançados simultaneamente, a probabilidade de a soma do valor ocorrido na face superior do dado cúbico com o valor ocorrido na face voltada para baixo no tetraédrico ser igual a 3 é de a) 12,5% b) 16,6% c) 37,5% d) 67,5% 16. (AFA) Suponha que a distribuição das idades dos cadetes do 1º ano da Academia da Força Aérea no ano de 2011 esteja representada pelo gráfico seguinte. Com base nos dados registrados nesse gráfico, é correto afirmar que, escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de ele ter 20 anos ou 21 anos é igual a a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% 17. (AFA) Considere que: I. Em uma urna encontram-se p bolas vermelhas e q bolas azuis; II. Duas bolas são retiradas dessa urna, sucessivamente e com reposição. Sabe-se que x é a variável que indica o número de bolas azuis observadas com as retiradas, cuja distribuição de probabilidade está de acordo com a tabela a seguir. ___________________ x 0 1 2 P(x) 0,36 0,48 0,16 Nessas condições, é correto afirmar que a) a probabilidade de se observar no máximo uma bola azul é 64%; b) se p = 6, então q = 9; c) se p = 18, então q = 12; d) p + q é necessariamente menor ou igual a 100. 18. (ESPCEX) Enrico guardou moedas em um cofrinho por um certo período de tempo e, ao abri-lo, constatou que: I. o cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00. II. a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50. III. se forem retiradas 21 moedas de R$ 0,25 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 passa a ser 9 . 40 IV. se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,50 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 1,00 passa a ser 1. 4 Diante dessas constatações, podemos afirmar que a quantidade de moedas de R$ 0,25 nesse cofrinho era a) 27. b) 32. c) 33. d) 81. e) 108. 19. (ESPCEX) Em uma população de homens e mulheres, 60% são mulheres, sendo 10% delas vegetarianas. Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa população também são vegetarianos. Dessa forma, selecionando-se uma pessoa dessa população ao acaso e verificandose que ela é vegetariana, qual é a probabilidade de que seja mulher? a) 50% b) 70% c) 75% d) 80% e) 85% 20. (ESPCEX) A probabilidade de um casal ter um filho de olhos azuis é igual a 1 . 3 Se o casal pretende ter 4 filhos, a probabilidade de que no máximo dois tenham olhos azuis é a) 1 9 b) 7 9 c) 8 9 d) 2 3 e) 1 2 21. (ESPCEX) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é a) 12 . 245 b) 14 . 245 c) 59 . 2450 d) 59 . 1225 e) 11 . 545 27 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR 22. (ESPCEX) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é: a) 1 2 b) 3 5 c) 1 3 d) 2 3 e) 3 8 23. (ESPCEX) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é a) 1 5 b) 2 5 c) 3 4 d) 1 4 e) 1 2 24. (ESPCEX) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é a) 4% b) 5% c) 5,4% d) 7,2% e) 8,2% 25. (ESPCEX) Se forem tomadas ao acaso duas arestas de um prisma reto de bases triangulares, a probabilidade de que elas estejam em retas-suporte reversas é a) 1 3 b) 2 3 c) 1 6 d) 1 4 e) 1 2 26. (EN) Um exame de laboratório tem eficiência de 90% para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado “falso positivo” (o resultado indica doença, mas ela não existe) para 1% das pessoas sadias testadas. Se 1,5% da população tem a doenças, qual a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo? a) 95 294 b) 160 433 c) 270 467 d) 75 204 e) 73 255 27. (EN) Um atirador, em um único tiro, tem probabilidade de 80% de acertar um específico tipo de alvo. Se ele realiza seis tiros seguidos nesse mesmo tipo alvo, considerando-se que os tiros são realizados de forma independente, qual a probabilidade de o atirador errar o alvo duas vezes? a) 4,12% b) 24,58% c) 40,25% d) 27,29% e) 18,67% 28. (EN) Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Qual é, aproximadamente, a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor? a) 9,17% b) 27,51% c) 7,44% d) 15,95% e) 8,33% 29. (EN) Três cones circulares C1 , C2 e C3 , possuem raios R R R, e , 2 4 respectivamente. Sabe-se que possuem a mesma altura e que C3 ? C2 ? C1 . Escolhendo-se aleatoriamente um ponto de C1 , a probabilidade de que esse ponto esteja em C2 e não esteja em C3 é igual a a) 1 4 b) 1 2 c) 3 4 d) 1 16 e) 3 16 30. (EN) Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamente dois vendem gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam sorteados? a) 1 45 b) 1 90 c) 1 15 d) 2 45 e) 1 30 31. (EN) Uma caixa contém 4 pistolas e 4 fuzis, sendo uma pistola e 2 fuzis defeituosos. Duas armas são retiradas da caixa sem reposição. A probabilidade de pelo menos uma arma ser defeituosa ou ser pistola é igual a a) 27 28 b) 13 14 c) 6 7 d) 11 14 e) 5 7 32. (EN) Considere como espaço amostral (?), o círculo no plano xy de centro na origem e raio igual a 2. Qual a probabilidade do evento A = {(x,y) ? ? ||x| + |y| < 1}? a) 2 ? b) 4? c) 1 ? d) 1 2? e) ? 33. (FUVEST) Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover?se uma unidade para a direita ou mover?se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade. Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial? a) 1 9 b) 17 81 c) 1 3 d) 51 125 e) 125 243 34. (FUVEST) Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que: I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela. II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola vermelha passa a ser 1 . 2 III. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola branca passa a ser 1 . 2 A quantidade de bolas brancas na urna é a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16. 35. (FUVEST) Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. 28 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é a) 1 4 b) 7 24 c) 1 3 d) 3 8 e) 5 12 36. (FUVEST) Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 1? 3 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 37. (FUVEST) Considere todos os pares ordenados de números naturais (a,b), em que 11 ? a ? 22 e 43 ? b ? 51. Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a,b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par? a) 7 27 b) 13 54 c) 6 27 d) 11 54 e) 5 27 38. (FUVEST) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? a) 4 27 b) 11 54 c) 7 27 d) 10 27 e) 23 54 39. (ITA) Uma urna de sorteio contém 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais. a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o número desta bola ser um múltiplo de 5 ou de 6. b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6. 40. (IME) Cada um dos quatro quadrados menores da figura abaixo é pintado aleatoriamente de verde, azul, amarelo ou vermelho. Qual é a probabilidade de que ao menos dois quadrados, que possuam um lado em comum, sejam pintados da mesma cor? a) 1 2 b) 5 8 c) 7 16 d) 23 32 e) 43 64 EXERCÍCIOS DE COMBATE 01. (ITA) Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P1 é a probabilidade de não sair bola azul e P2 é a probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a alternativa que mais se aproxima de P1 + P2 é a) 0,21. b) 0,25. c) 0,28. d) 0,35. e) 0,40. 02. (ITA) Considere o conjunto D = {n ? N; 1 ? n ? 365} e H ? P(D) formado por todos os subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B ? H, a probabilidade de a soma de seus elementos ser 183 é a) 1/730 b) 46/33215 c) 1/365 d) 92/33215 e) 91/730 03. (ITA) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população. a) 1/21 b) 1/8 c) 3/21 d) 5/21 e) 1/4 04. (ITA) Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 2 3 a probabilidade de ser aceso. Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a a) 16 . 27 b) 49. 81 c) 151. 243 d) 479. 729 e) 4 5 4 5 2 2 . 3 3 + 05. (ITA) Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10 são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é a) 7. 8 b) 5. 7 c) 5. 8 d) 3. 5 e) 3. 7 06. (ITA) Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a a) 2 9 b) 1 3 c) 4 9 d) 2 3 e) 2 3 07. (ITA) Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda: I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos. II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos. III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos. Pode-se afirmar que a) dos três resultados, I é o mais provável. b) dos três resultados, II é o mais provável. 29 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR c) dos três resultados, III é o mais provável. d) os resultados I e II são igualmente prováveis. e) os resultados II e III são igualmente prováveis. 08. (ITA) Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito ?. Se A e B são eventos de ? tais que ( ) 1 pA , 2 = ( ) 1 p B 3 = e ( ) 1 pA B , 4 ? = as probabilidades dos eventos A \ B, A ? B e AC ? BC são, respectivamente, a) 15 1 ,e. 46 4 b) 15 1 ,e. 66 4 c) 17 3 , e. 6 12 4 d) 15 1 , e. 36 3 e) 17 3 , e. 4 12 4 09. (IME) O time de futebol “X” irá participar de um campeonato no qual não são permitidos empates. Em 80% dos jogos, “X” é o favorito. A probabilidade de “X” ser o vencedor do jogo quando ele é o favorito é 0,9. Quando “X” não é o favorito, a probabilidade de ele ser o vencedor é 0,02. Em um determinado jogo de “X” contra “Y”, o time “X” foi o vencedor. Qual a probabilidade de “X” ter sido o favorito nesse jogo? a) 0,80 b) 0,98 c) 180/181 d) 179/181 e) 170/181 10. (ITA) Com os elementos 1, 2, ..., 10 são formadas todas as sequências (a1, a2, ..., a7). Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é a) 7 7! . 10 3! ? b) 7 10! . 10 3! ? c) 7 3! . 10 7! ? d) 3 10! . 10 7! ? e) 7 10!. 10 DESAFIO PRO 1 (IME) Em um jogo de RPG “Role-Playing Game” em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo? a) 1/2 b) 3/76 c) 9/400 d) 1/80 e) 3/80 2 (ITA) As faces de dez moedas são numeradas de modo que: a primeira moeda tem faces 1 e 2; a segunda, 2 e 3; a terceira, 3 e 4, e assim sucessivamente até a décima moeda, com faces 10 e 11. As dez moedas são lançadas aleatoriamente e os números exibidos são somados. Então, a probabilidade de que essa soma seja igual a 60 é a) 63 . 128 b) 63 . 512 c) 63 . 512 d) 180 . 512 e) 189 . 1024 3 (IME) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, lança uma moeda. Ele andará 1 m para leste se o resultado for cara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade deste menino estar a 5 m de distância de sua posição inicial, após 9 lançamentos da moeda, é a) 6 9 2 b) 2 9! c) 2 9! d) 9 35 2 e) 9 9! 2 4 (ITA) Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30 m de distância; o segundo, a 40 m; o terceiro alvo, a 60 m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 2 , 3 então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é a) 120 . 160 b) 119 . 154 c) 110 . 144 d) 105. 135 e) 119 . 144 5 (IME) Os inteiros n e m são sorteados do conjunto {1,2,3,...,2016}, podendo haver repetição. Qual a probabilidade do produto n x m ser múltiplo de 12? a) 5 12 b) 5 18 c) 5 24 d) 5 36 e) 5 144 GABARITO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01.C 02.D 03D. 04. C 05.B 06D. 07.E 08.B 09.A 10.B EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO 01. D 02. C 03. C 04. D 05. C 06. C 07. E 08. D 09. C 10. A 11. C 12. D 13. C 14. C 15. A 16. B 17. C 18. D 19. C 20. C 21. D 22. C 23. B 24. E 25. A 26. C 27. B 28. A 29. ANULADA 30. A 31. A 32. D 33. B 34. C 35. D 36. B 37. E 38. C 39. 40. EXERCÍCIOS DE COMBATE 01. E 02. A 03. A 04. A 05. B 06. D 07. D 08. E 09. C 10. B DESAFIO PRO 01. E 02. B 03. A 04. E 05. BPROBABILIDADE Consideremos um experimento com resultados imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, cada repetição desse experimento é impossível prever com certeza qual o resultado que será obtido, e além disso, a ocorrência de um deles exclui os demais. É o caso do lançamento de uma moeda, cujos possíveis resultados são: cara, coroa; ou então, o lançamento de um dado, com resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Todo experimento desta natureza chama-se de experimento aleatório, e seus possíveis resultados, mutuamente exclusivos, são chamados de eventos simples. Diremos que um é determinístico quando repetido em condições iguais conduz a resultados idênticos. Os experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes são chamados experimentos aleatórios. O espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os seus eventos simples. No caso do lançamento do dado, o espaço é igual a U = {1,2,3,4,5,6}. Os elementos do espaço amostral são chamados eventos elementares. Os subconjuntos do espaço amostral serão chamados eventos. Por exemplo, o subconjunto A = {2,3,5} é o evento que ocorre se o número mostrado na face de cima é primo. Para calcular a probabilidade de um evento A, iremos considerar o caso do evento A = {2,3,5} do nosso exemplo. É claro intuitivamente que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a metade dos casos. Se os eventos elementares são todos equiprováveis e se o número de elementos de A é a metade dos elementos do espaço amostral. A probabilidade do evento A, será calculada da seguinte forma: probabilidade de #(A) 3 1 A . #( ) 6 2 = = = ? Suponha que um experimento aleatório tem as seguintes características: a) Há um número finito (digamos n) de eventos elementares (casos possíveis). A união de todos os eventos elementares é o espaço amostral U. b) Os eventos elementares são igualmente prováveis. c) Todo evento A é uma união de m eventos elementares onde m ? n. Definimos, então: Probabilidade de número de casos favoráveis A P(A) número de casos possíveis = = #(A) m. #(U) n = = São consequências imediatas desta definição as seguintes propriedades: 1. Para todo evento A, 0 ? P(A) ? 1; 2. P(U) = 1; 3. P(?) = 0 (porque #(?) = 0; 4. Se A ? B = ? então P(A ? B) = P(A) + P(B). 5. Se A ? B ? ? então P(A ? B) = P(A) + P(B) – P(A ? B). TEOREMA - PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR P(AC) = 1 – P(A) PROBABILIDADE CONDICIONAL Para iniciar o conceito do que é probabilidade condicional, vamos considerar o seguinte problema. Suponha que um redator de um jornal recebeu 120 cartas de leitores sobre uma demissão polêmica de um professor universitário, mas o redator só pode publicar uma destas cartas, que será escolhida ao acaso. As cartas foram escritas por alunos ou por pais, algumas apoiam o reitor que demitiu o professor, outras apoiam o professor, e estão dividias conforme o quadro abaixo: ESTUDANTES PAIS Apoiam o professor 16 44 Apoiam o reitor 8 52 A situação pode também ser representada pelo diagrama de Venn, onde E representa o conjunto das cartas que foram escritas pelos estudantes e P representa o conjunto de cartas que foram escritas em apoio ao professor. Como podemos ver, a probabilidade de retirar uma carta escrita por um estudante que apoia o professor é ( ) 16 2 PE P 120 15 ?= = . Para calcular qual a probabilidade de uma carta apoiar o professor dado que foi escrita por um estudante, temos ( ) ( ) ( ) 16 PP E 120 16 P P|E P E 24 24 120 ? = = = , ou ( ) n° de elementos de P E 16 P P|E n° de elementos de E 24 ? = = . Generalizando a partir do nosso exemplo, vamos definir probabilidade condicional. Se A e B são eventos de um espaço amostral S e P(B) ? 0, então a probabilidade do evento A ocorrer dado que ocorreu B é representada P (A|B) e é dada por ( ) ( ) ( ) PA B P A|B P B ? = , P(B) ? 0. 24 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR REGRA DO PRODUTO DE PROBABILIDADES Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência, ou não ocorrência de um deles não influi na ocorrência do outro, isto é: P(A|B) = P(A) ou ainda, P(A ? B) = P(A) · P(B) PROPOSIÇÕES Sejam A, B e C eventos de algum espaço amostral S. Então, • P(? | A) = 0, P(S | A) = 1 e 0 ? P(B | A) ? 1 • P((B ? C) | A) = P(B | A) + P(C | A), se B ? C = ? TEOREMA DE BAYES Sejam A1 , A2 , ..., Ap eventos disjuntos e p i i 1 B A = ? ? ,então p i i i 1 P(B) P(A ).P(B | A ) = =? e, k k k 11 p p P(A ) .P(B | A ) P(A | B) P(A ) .P(B | A ) ... P(A ) .P(B | A ) = + + . DISTRIBUIÇÃO BINOMINAL A probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma sequência de n provas independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova é p, igual a ( ) n k n k p1p . k ? ? ? ? ? ? ? ? Exemplo: Jogamos uma moeda não viciada 10 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras? Solução: Pondo sucesso = cara, temos p = 1/2 em cada prova e as provas são independentes. Queremos achar a probabilidade de k = 5 sucessos em n = 10 provas. Pelo teorema binominal, a resposta é 5 5 10 1 1 252 63 1 . 5 2 2 1024 256 ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ?= = ? ?? ?? ? EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade da soma ser menor do que 4? a) 1/6 b) 1/8 c) 1/12 d) 1/16 02. Um número inteiro é escolhido ao acaso entre 1 e 20 inclusive. Qual a probabilidade de o número escolhido ser um quadrado perfeito? a) 1 20 b) 1 10 c) 3 20 d) 1 5 03. Uma urna contém bolas verdes e azuis. Sabe-se que a probabilidade de se retirar uma bola azul é de 6/11 A probabilidade de ser retirada, em uma única tentativa, uma bola verde é de a) 1/11 b) 2/11 c) 4/11 d) 5/11 04. Jogando-se um dado comum de seis faces e não viciado, a probabilidade de ocorrer um número primo e maior que 4 é de a) 1/3 b) 1/2 c) 1/6 d) 2/3 e) 5/6 05. Dentre os números inteiros de 1 a 50, um número é escolhido aleatoriamente. Qual a probabilidade de ele divisível por 5? a) 1/50 b) 1/5 c) 1/2 d) 3/4 06. A probabilidade de um jogador de futebol marcar o gol ao cobrar um pênalti, é de 80%. Se esse jogador cobrar dois pênaltis consecutivos, a probabilidade dele fazer o gol, em ambas as cobranças, é igual a: a) 16% b) 20% c) 32% d) 64% e) 80% 07. Um aluno da ESA tem uma habilidade muito boa nas provas de tiro com pistola, possuindo um índice de acerto no alvo de quatro em cada cinco tiros. Se ele atirou duas vezes, a probabilidade de que ele tenha errado os dois tiros é: a) 16/25 b) 8/25 c) 1/5 d) 2/5 e) 1/25 08. Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. A probabilidade desse número ser par é: a) 1/3 b) 2/5 c) 3/5 d) 2/3 e) n.r.a. 09. Uma urna contém 3 bolas verdes e 4 amarelas. Ao retirar, sem reposição, duas bolas, a probabilidade delas serem amarelas é a) 2/7 b) 3/7 c) 4/7 d) 6/7 10. No lançamento de 2 dados, qual a probabilidade de que a soma dos dois seja 8, supondo que no 1º resultado tenha sido menor que 5? a) 10% b) 12,5% c) 14% d) 16,5% EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO 01. (EEAR) Uma urna contém bolas verdes e azuis. Sabe-se que a probabilidade de se retirar uma bola azul é de 6 . 11 A probabilidade de ser retirada, em uma única tentativa, uma bola verde é de a) 1 11 b) 2 11 c) 4 11 d) 5 11 02. (EFOMM) Um atirador, em um único tiro, tem probabilidade de 80% de acertar um específico tipo de alvo. Num exercício ele dá seis tiros seguidos nesse mesmo tipo de alvo. Considerando-se que os tiros são independentes, em cálculo aproximado, qual é a probabilidade de o atirador errar o alvo exatamente duas vezes? a) 4,12% b) 18,67% c) 24,58% d) 27,29% e) 40,25% 03. (EFOMM) Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Em valores aproximados, qual é a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor? a) 7,44% b) 8,33% c) 9,17% d) 15,95% e) 27,51% 04. (EFOMM) Um garoto dispõe de um único exemplar de cada poliedro de Platão existente. Para brincar, ele numerou cada vértice, face e aresta de cada poliedro sem repetir nenhum número. Em 25 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR seguida, anotou esses números no próprio poliedro. Se ele sortear um dos números usados, aleatoriamente, qual será a probabilidade de o número sorteado representar um vértice? a) 5 9 b) 5 14 c) 1 3 d) 5 19 e) 1 10 05. (EFOMM) Um programa de auditório tem um jogo chamado “Porta Premiada”, que funciona da seguinte maneira: 1º. há três portas: uma tem prêmios e duas estão vazias; 2º. o apresentador pede ao convidado que escolha uma das portas; 3º. após a escolha, o apresentador abre uma das duas portas não escolhidas. Como ele sabe qual é a premiada, abre uma vazia; 4º. depois de aberta uma das portas, ele pergunta ao convidado se deseja trocar de porta; 5º. finalmente, abre a porta do convidado para verificar se ganhou ou perdeu. Analisando o jogo de forma puramente probabilística, verifique qua(l) (is) das estratégias abaixo tem a maior probabilidade de vencer o jogo. I. Após escolher a porta, não trocá-la até o final do jogo. II. Todas as probabilidades são iguais; não há estratégia melhor que a outra, ou seja, tanto faz trocar ou não a porta. III. A melhor estratégia é sempre trocar a porta. Sobre as estratégias I, II e III apresentadas, é correto afirmar que a) somente a alternativa I está correta. b) somente a alternativa II está correta. c) somente a alternativa III está correta. d) nenhuma alternativa está correta. e) todas as alternativas apresentam circunstâncias com a mesma probabilidade de vencer. 06. (EFOMM) Um atleta de tiro ao prato tem probabilidade de 0,9 de acertar o prato a cada novo lançamento. Analisando esse jogador antes do início da competição, após quantos lançamento de pratos, a probabilidade de ele não ter acertado todos os tiros se tornará maior que a probabilidade de acertar todos? a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 07. (EFOMM) Seis alunos da EFOMM – três paranaenses, dois cariocas e um alagoano – são colocados em uma fila aleatoriamente. Qual é a probabilidade, então, de que nenhum conterrâneo fique ao lado do outro? a) 3 31 b) 1 36 c) 1 24 d) 1 12 e) 1 6 08. (EFOMM) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a,b,c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a e que c seja sucessor de b ou que a, b e c sejam primos? a) 4 216 b) 27 216 c) 108 216 d) 31 216 e) 10 216 09. (AFA) Pela legislação brasileira, atualmente, os ditos “Jogos de Azar” estão proibidos. Tais jogos são, na maioria das vezes, sustentados pelas perdas dos jogadores que financiam os que vão ter sorte. Esses jogos têm por condição de existência que, na diferença entre as probabilidades de sorte e azar, predomine o azar. Ainda que proibidos, bancas de alguns desses jogos são comumente encontradas em festas populares Brasil afora. Exemplo desses jogos é aquele em que o jogador tem 1 bolinha para lançar sobre uma rampa, levemente inclinada, e deverá acertar uma das “casinhas” numeradas de 1 a 6. Geralmente, o dono da banca de jogo impõe condições para que o jogador ganhe um prêmio. Suponha que uma condição de sorte seja, desconsiderando quaisquer outras influências, lançar a bolinha três vezes sucessivas de modo que, ao final dos três lançamentos, seja observado que a soma dos números das casinhas é igual a 12. Desse modo, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é a) menor que 3%. b) maior que 8% e menor que 10%. c) maior que 11% e menor que 13%. d) superior a 13%. 10. (AFA) Durante o desfile de Carnaval das escolas de samba do Rio de Janeiro em 2017, uma empresa especializada em pesquisa de opinião entrevistou 140 foliões sobre qual agremiação receberia o prêmio de melhor do ano que é concedido apenas a uma escola de samba. Agrupados os resultados obtidos, apresentaram-se os índices conforme o quadro a seguir: Agremiação escolhida A B C A e B A e C B e C A, B e C Nº de foliões que escolheram 77 73 70 20 25 40 5 A respeito dos dados colhidos, analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). ( ) Se A for a agremiação vencedora em 2017 e se um dos foliões que opinaram for escolhido ao acaso, então a probabilidade de que ele NÃO tenha votado na agremiação que venceu é igual a 45%. ( ) Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele tenha indicado exatamente duas agremiações é de 50%. ( ) Se a agremiação B for a campeã em 2017, a probabilidade de que o folião entrevistado tenha indicado apenas esta como campeã é menor que 10%. A sequência correta é a) V – V – F b) F – V – V c) F – V – F d) V – F – V 11. (AFA) Num auditório da Academia da Força Aérea estão presentes 20 alunos do Curso de Formação de Oficiais Aviadores dos quais apenas 10 usam agasalho. Estão presentes, também, 25 alunos do Curso de Formação de Oficiais Intendentes dos quais apenas 15 usam agasalho. Um dos alunos presentes é escolhido ao acaso. É correto afirmar que é igual a 2 9 a probabilidade de que o aluno escolhido a) seja do Curso de Formação de Oficiais Intendentes ou use agasalho. b) use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de Oficiais Intendentes. c) seja do Curso de Formação de Oficiais Aviadores que não use agasalho. d) não use agasalho, sabendo que é do Curso de Formação de Oficiais Aviadores. 12. (AFA) Em uma mesa há dois vasos com rosas. O vaso A contém 9 rosas das quais 5 tem espinhos e o vaso B contém 8 rosas sendo que exatamente 6 não tem espinhos. 26 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR Retira-se, aleatoriamente, uma rosa do vaso A e coloca-se em B. Em seguida, retira-se uma rosa de B. A probabilidade de essa rosa retirada de B ter espinhos é a) 8 81 b) 15 81 c) 18 81 d) 23 81 13. (AFA) Um jogo é decidido com um único lançamento do dado cuja planificação está representada abaixo. Participam desse jogo quatro pessoas: Carlos, que vencerá o jogo se ocorrer face preta ou menor que 3; José vencerá se ocorrer face branca e número primo; Vicente vencerá caso ocorra face preta e número par; Antônio vencerá se ocorrer face branca ou número menor que 3. Nessas condições, é correto afirmar que a) Vicente não tem chance de vencer. b) Carlos tem, sozinho, a maior probabilidade de vencer. c) a probabilidade de José vencer é o dobro da de Vicente. d) a probabilidade de Antônio vencer é maior do que a de Carlos. 14. (AFA) Distribuiu-se, aleatoriamente, 7 bolas iguais em 3 caixas diferentes. Sabendo-se que nenhuma delas ficou vazia, a probabilidade de uma caixa conter, exatamente, 4 bolas é a) 25% b) 30% c) 40% d) 48% 15. (AFA) Um dado cúbico tem três de suas faces numeradas com “0”, duas com “1” e uma com “2”. Um outro dado, tetraédrico, tem duas de suas faces numeradas com “0”, uma com “1” e uma com “2”. Sabe-se que os dados não são viciados. Se ambos são lançados simultaneamente, a probabilidade de a soma do valor ocorrido na face superior do dado cúbico com o valor ocorrido na face voltada para baixo no tetraédrico ser igual a 3 é de a) 12,5% b) 16,6% c) 37,5% d) 67,5% 16. (AFA) Suponha que a distribuição das idades dos cadetes do 1º ano da Academia da Força Aérea no ano de 2011 esteja representada pelo gráfico seguinte. Com base nos dados registrados nesse gráfico, é correto afirmar que, escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de ele ter 20 anos ou 21 anos é igual a a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% 17. (AFA) Considere que: I. Em uma urna encontram-se p bolas vermelhas e q bolas azuis; II. Duas bolas são retiradas dessa urna, sucessivamente e com reposição. Sabe-se que x é a variável que indica o número de bolas azuis observadas com as retiradas, cuja distribuição de probabilidade está de acordo com a tabela a seguir. ___________________ x 0 1 2 P(x) 0,36 0,48 0,16 Nessas condições, é correto afirmar que a) a probabilidade de se observar no máximo uma bola azul é 64%; b) se p = 6, então q = 9; c) se p = 18, então q = 12; d) p + q é necessariamente menor ou igual a 100. 18. (ESPCEX) Enrico guardou moedas em um cofrinho por um certo período de tempo e, ao abri-lo, constatou que: I. o cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00. II. a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50. III. se forem retiradas 21 moedas de R$ 0,25 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 passa a ser 9 . 40 IV. se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,50 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 1,00 passa a ser 1. 4 Diante dessas constatações, podemos afirmar que a quantidade de moedas de R$ 0,25 nesse cofrinho era a) 27. b) 32. c) 33. d) 81. e) 108. 19. (ESPCEX) Em uma população de homens e mulheres, 60% são mulheres, sendo 10% delas vegetarianas. Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa população também são vegetarianos. Dessa forma, selecionando-se uma pessoa dessa população ao acaso e verificandose que ela é vegetariana, qual é a probabilidade de que seja mulher? a) 50% b) 70% c) 75% d) 80% e) 85% 20. (ESPCEX) A probabilidade de um casal ter um filho de olhos azuis é igual a 1 . 3 Se o casal pretende ter 4 filhos, a probabilidade de que no máximo dois tenham olhos azuis é a) 1 9 b) 7 9 c) 8 9 d) 2 3 e) 1 2 21. (ESPCEX) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é a) 12 . 245 b) 14 . 245 c) 59 . 2450 d) 59 . 1225 e) 11 . 545 27 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR 22. (ESPCEX) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é: a) 1 2 b) 3 5 c) 1 3 d) 2 3 e) 3 8 23. (ESPCEX) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é a) 1 5 b) 2 5 c) 3 4 d) 1 4 e) 1 2 24. (ESPCEX) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4% dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja diabética é a) 4% b) 5% c) 5,4% d) 7,2% e) 8,2% 25. (ESPCEX) Se forem tomadas ao acaso duas arestas de um prisma reto de bases triangulares, a probabilidade de que elas estejam em retas-suporte reversas é a) 1 3 b) 2 3 c) 1 6 d) 1 4 e) 1 2 26. (EN) Um exame de laboratório tem eficiência de 90% para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado “falso positivo” (o resultado indica doença, mas ela não existe) para 1% das pessoas sadias testadas. Se 1,5% da população tem a doenças, qual a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame foi positivo? a) 95 294 b) 160 433 c) 270 467 d) 75 204 e) 73 255 27. (EN) Um atirador, em um único tiro, tem probabilidade de 80% de acertar um específico tipo de alvo. Se ele realiza seis tiros seguidos nesse mesmo tipo alvo, considerando-se que os tiros são realizados de forma independente, qual a probabilidade de o atirador errar o alvo duas vezes? a) 4,12% b) 24,58% c) 40,25% d) 27,29% e) 18,67% 28. (EN) Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Qual é, aproximadamente, a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor? a) 9,17% b) 27,51% c) 7,44% d) 15,95% e) 8,33% 29. (EN) Três cones circulares C1 , C2 e C3 , possuem raios R R R, e , 2 4 respectivamente. Sabe-se que possuem a mesma altura e que C3 ? C2 ? C1 . Escolhendo-se aleatoriamente um ponto de C1 , a probabilidade de que esse ponto esteja em C2 e não esteja em C3 é igual a a) 1 4 b) 1 2 c) 3 4 d) 1 16 e) 3 16 30. (EN) Há 10 postos de gasolina em uma cidade. Desses 10, exatamente dois vendem gasolina adulterada. Foram sorteados aleatoriamente dois desses 10 postos para serem fiscalizados. Qual é a probabilidade de que os dois postos infratores sejam sorteados? a) 1 45 b) 1 90 c) 1 15 d) 2 45 e) 1 30 31. (EN) Uma caixa contém 4 pistolas e 4 fuzis, sendo uma pistola e 2 fuzis defeituosos. Duas armas são retiradas da caixa sem reposição. A probabilidade de pelo menos uma arma ser defeituosa ou ser pistola é igual a a) 27 28 b) 13 14 c) 6 7 d) 11 14 e) 5 7 32. (EN) Considere como espaço amostral (?), o círculo no plano xy de centro na origem e raio igual a 2. Qual a probabilidade do evento A = {(x,y) ? ? ||x| + |y| < 1}? a) 2 ? b) 4? c) 1 ? d) 1 2? e) ? 33. (FUVEST) Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover?se uma unidade para a direita ou mover?se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade. Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial? a) 1 9 b) 17 81 c) 1 3 d) 51 125 e) 125 243 34. (FUVEST) Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que: I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela. II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola vermelha passa a ser 1 . 2 III. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola branca passa a ser 1 . 2 A quantidade de bolas brancas na urna é a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16. 35. (FUVEST) Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto). Cada nome é escrito em um pedaço de papel, que é colocado em uma urna, e cada participante retira um deles ao acaso. 28 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é a) 1 4 b) 7 24 c) 1 3 d) 3 8 e) 5 12 36. (FUVEST) Em um experimento probabilístico, Joana retirará aleatoriamente 2 bolas de uma caixa contendo bolas azuis e bolas vermelhas. Ao montar-se o experimento, colocam-se 6 bolas azuis na caixa. Quantas bolas vermelhas devem ser acrescentadas para que a probabilidade de Joana obter 2 azuis seja 1? 3 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 37. (FUVEST) Considere todos os pares ordenados de números naturais (a,b), em que 11 ? a ? 22 e 43 ? b ? 51. Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a,b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par? a) 7 27 b) 13 54 c) 6 27 d) 11 54 e) 5 27 38. (FUVEST) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? a) 4 27 b) 11 54 c) 7 27 d) 10 27 e) 23 54 39. (ITA) Uma urna de sorteio contém 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais. a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o número desta bola ser um múltiplo de 5 ou de 6. b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6. 40. (IME) Cada um dos quatro quadrados menores da figura abaixo é pintado aleatoriamente de verde, azul, amarelo ou vermelho. Qual é a probabilidade de que ao menos dois quadrados, que possuam um lado em comum, sejam pintados da mesma cor? a) 1 2 b) 5 8 c) 7 16 d) 23 32 e) 43 64 EXERCÍCIOS DE COMBATE 01. (ITA) Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P1 é a probabilidade de não sair bola azul e P2 é a probabilidade de todas as bolas saírem com a mesma cor, então a alternativa que mais se aproxima de P1 + P2 é a) 0,21. b) 0,25. c) 0,28. d) 0,35. e) 0,40. 02. (ITA) Considere o conjunto D = {n ? N; 1 ? n ? 365} e H ? P(D) formado por todos os subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B ? H, a probabilidade de a soma de seus elementos ser 183 é a) 1/730 b) 46/33215 c) 1/365 d) 92/33215 e) 91/730 03. (ITA) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população. a) 1/21 b) 1/8 c) 3/21 d) 5/21 e) 1/4 04. (ITA) Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 2 3 a probabilidade de ser aceso. Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a a) 16 . 27 b) 49. 81 c) 151. 243 d) 479. 729 e) 4 5 4 5 2 2 . 3 3 + 05. (ITA) Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10 são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é a) 7. 8 b) 5. 7 c) 5. 8 d) 3. 5 e) 3. 7 06. (ITA) Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a a) 2 9 b) 1 3 c) 4 9 d) 2 3 e) 2 3 07. (ITA) Considere os seguintes resultados relativamente ao lançamento de uma moeda: I. Ocorrência de duas caras em dois lançamentos. II. Ocorrência de três caras e uma coroa em quatro lançamentos. III. Ocorrência de cinco caras e três coroas em oito lançamentos. Pode-se afirmar que a) dos três resultados, I é o mais provável. b) dos três resultados, II é o mais provável. 29 PROBABILIDADE PROMILITARES.COM.BR c) dos três resultados, III é o mais provável. d) os resultados I e II são igualmente prováveis. e) os resultados II e III são igualmente prováveis. 08. (ITA) Seja p uma probabilidade sobre um espaço amostral finito ?. Se A e B são eventos de ? tais que ( ) 1 pA , 2 = ( ) 1 p B 3 = e ( ) 1 pA B , 4 ? = as probabilidades dos eventos A \ B, A ? B e AC ? BC são, respectivamente, a) 15 1 ,e. 46 4 b) 15 1 ,e. 66 4 c) 17 3 , e. 6 12 4 d) 15 1 , e. 36 3 e) 17 3 , e. 4 12 4 09. (IME) O time de futebol “X” irá participar de um campeonato no qual não são permitidos empates. Em 80% dos jogos, “X” é o favorito. A probabilidade de “X” ser o vencedor do jogo quando ele é o favorito é 0,9. Quando “X” não é o favorito, a probabilidade de ele ser o vencedor é 0,02. Em um determinado jogo de “X” contra “Y”, o time “X” foi o vencedor. Qual a probabilidade de “X” ter sido o favorito nesse jogo? a) 0,80 b) 0,98 c) 180/181 d) 179/181 e) 170/181 10. (ITA) Com os elementos 1, 2, ..., 10 são formadas todas as sequências (a1, a2, ..., a7). Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é a) 7 7! . 10 3! ? b) 7 10! . 10 3! ? c) 7 3! . 10 7! ? d) 3 10! . 10 7! ? e) 7 10!. 10 DESAFIO PRO 1 (IME) Em um jogo de RPG “Role-Playing Game” em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo? a) 1/2 b) 3/76 c) 9/400 d) 1/80 e) 3/80 2 (ITA) As faces de dez moedas são numeradas de modo que: a primeira moeda tem faces 1 e 2; a segunda, 2 e 3; a terceira, 3 e 4, e assim sucessivamente até a décima moeda, com faces 10 e 11. As dez moedas são lançadas aleatoriamente e os números exibidos são somados. Então, a probabilidade de que essa soma seja igual a 60 é a) 63 . 128 b) 63 . 512 c) 63 . 512 d) 180 . 512 e) 189 . 1024 3 (IME) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, lança uma moeda. Ele andará 1 m para leste se o resultado for cara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade deste menino estar a 5 m de distância de sua posição inicial, após 9 lançamentos da moeda, é a) 6 9 2 b) 2 9! c) 2 9! d) 9 35 2 e) 9 9! 2 4 (ITA) Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30 m de distância; o segundo, a 40 m; o terceiro alvo, a 60 m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 2 , 3 então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é a) 120 . 160 b) 119 . 154 c) 110 . 144 d) 105. 135 e) 119 . 144 5 (IME) Os inteiros n e m são sorteados do conjunto {1,2,3,...,2016}, podendo haver repetição. Qual a probabilidade do produto n x m ser múltiplo de 12? a) 5 12 b) 5 18 c) 5 24 d) 5 36 e) 5 144 GABARITO EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 01.C 02.D 03D. 04. C 05.B 06D. 07.E 08.B 09.A 10.B EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO 01. D 02. C 03. C 04. D 05. C 06. C 07. E 08. D 09. C 10. A 11. C 12. D 13. C 14. C 15. A 16. B 17. C 18. D 19. C 20. C 21. D 22. C 23. B 24. E 25. A 26. C 27. B 28. A 29. ANULADA 30. A 31. A 32. D 33. B 34. C 35. D 36. B 37. E 38. C 39. 40. EXERCÍCIOS DE COMBATE 01. E 02. A 03. A 04. A 05. B 06. D 07. D 08. E 09. C 10. B DESAFIO PRO 01. E 02. B 03. A 04. E 05. B

avaliar 4 casos.

3 pessoas c/ olhos claros --> (1/5)/* (1/5)*(1/5) =1/125

2 pessoas c/ olhos claros --> (1/5)*(1/5)*(4/5) = 4/125 como podemos ter qualquer das 3 pessoas c/ olhos escuros, temos 3 situações q atendem. assim, 12/125

1 pessoa c olhos claros  --> (1/5)*(4/5)*(4/5) = 16/125 como podemos ter qualquer das 3 pessoas c/ olhos claros, temos 3 situações q NÃO atendem. assim, 48/125

3 pessoas c olhos escuros --> (4/5)*(4/5)*(4/5) = 64/125 situação q  NÃO atende.

Considerando as 2 situações que atendem ao critério , temos

Para a primeira 100% de probabilidae, pois TODAS tem olhos claros. Assim 1*1/125 --> 0,8%

Para a segunda, temos 2/3*1/2 = 1/3 de 12/125 = 4/125  --> 3,2%

somando os casos temos 4% de probabilidade da sortear 2 pessoa c/ olhos claros.

(1/25)/3*(1/25)/2 *100 = 0,96%

Matheus L.

Respondeu há 4 anos

D