Probabilidades e combinatória

Question

Pretende-se pintar as faces do prisma hexagonal de modo que duas faces com arestas comuns não tenham a mesma cor. Sabendo que existem 6 cores disponíveis, de quantas maneiras é possível pintar o prisma?

quando vi a resolução percebi que podemos usar 3, 4, 5 ou 6 cores para pintar.

O que não percebi foi o seguinte quando usamos as 6 cores:
Tendo as bases a mesma cor, há 6 possibilidades
para a cor das bases e sobram 5 cores, o que significa
que uma cor é repetida nas faces laterais. As faces com cores
repetidas ocupam 3 posições possíveis, sendo que
têm 5 possibilidades de cor e as faces de cores não
repetidas originam 48 situações.

Para mim há 24 possibilidades para dispor as 4 cores não repetidas, não percebo o 48.

Diana S. · Answer

Cara Professora Noemi.Z., a questão é esta:  Pretende-se pintar as faces do prisma hexagonal de modo que duas faces com arestas comuns  não tenham a mesma cor. Sabendo que existem 6 cores disponíveis, de quantas maneiras é possível pintar o prisma?  quando vi a resolução percebi que podemos usar 3, 4, 5 ou 6 cores para pintar.  O que não percebi foi o seguinte quando usamos as 6 cores: Tendo as bases a mesma cor, há 6 possibilidades para a cor das bases e sobram 5 cores, o que significa que uma cor é repetida nas faces laterais (situação do tipo 2?+?1?+?1?+?1?+?1 ). As faces com cores repetidas ocupam 3 posições possíveis, sendo que têm 5 possibilidades de cor e as faces de cores não repetidas originam 48 situações.  Para mim há 24 possibilidades para dispor as 4 cores não repetidas, não percebo o 48.

Pedro M. · Answer

Olá, Diana!  Sua dúvida é somente em relação ao caso que usamos todas as 6 cores e pintamos as bases com a mesma cor?  Se for o caso para resolvermos podemos usar analise combinatória para as seis faces restantes. Como teremos apenas cinco cores disponíveis para pinta-las precisamos de uma face com cor repetida. E somente uma pois queremos usar todas as seis cores, aqui fixamos a cor que será repetida, que como você apotou tem três posições relativas possíveis. Assim as opções possíveis para as quatro cores restantes nos espaços que sobram serão: 4.3.2.1 = 24 Portanto realmente para o caso que descreve o total de possibilidades seria apenas 24. Acredito que houve um equivoco por parte da resolução. Uma combinação de quatro cores não repetidas, onde a ordem importa geram apenas 24 possibilidades.

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