Tenho o seguinte problema: Provar por indução que pra todo inteiro positivo n vale:
Tentei resolver apenas aplicando a hipótese de indução, mas não sai facilmente. Também tentei utilizar a fórmula da soma geométrica dentro da indução mas também não estou conseguindo resolver! Alguém poderia me ajudar?
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A solução é mais fácil do que você imagina, mas eu também demorei a notar.
Bem, a base você sabe, você prova a fórmula para n = 1, o que é simplesmente dizer que 1/3 < 1/2 .
Agora o passo, supomos que essa desigualdade vale para um certo n, isto é, que para um certo n, temos
1/3 + ... + 1/3^n < 1/2
E vamos mostrar que assumindo isso teremos que a soma até o termo 1/3^(n+1) também será menor do que 1/2 .
Ora, note que, colocando 1/3 em evidência:
1/3 + 1/3^2 + ... + 1/3^n + 1/3^(n+1) = 1/3 ( 1 + 1/3 + ... + 1/3^n )
Por hipótese de indução, 1/3 + ... + 1/3^n < 1/2 , então teremos:
1/3 ( 1 + 1/3 + ... + 1/3^n ) < 1/3 (1 + 1/2) = 1/3 + 1/6 = 1/2
C.Q.D.
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