Propriedades de sinais

Determine quais das propriedades listadas abaixo são válidas e quais não são para cada um dos sistemas de tempo discreto a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo, y[n] representa a saída do sistema e x[n] é a entrada do sistema. Propriedades: i) Sem memória; ii) Invariante no tempo; iii) Linear;iv) Causal; v) Estável. a) y[n] = x[-n] b) y[n] = x[n - 2] - 2x[n - 8] c) y[n] = nx[n] d) y[n] = parte ímpar de x[n] UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA Sinais e Sistemas - Lista 1 Gabarito 4 de outubro de 2015 1. Considere o sinal x(t) mostrado na figura abaixo. O sinal é zero fora do intervalo ?2 < t < 2. a) O gráfico a seguir representa o sinal y1(t). Determine uma expressão para y1(t) em função de x(t). Resposta: y1(t) = x(2t +2) b) O gráfico a seguir representa o sinal y2(t). Determine uma expressão para y2(t) em função de x. Resposta: y2(t) = x(1?t) c) Considere y3(t) = x(2t +3). Determine todos os valores de t para os quais y3(t) = 1. Resposta: x(t) = 1 no intervalo 0 ? t < 2. Portanto, y3(t) = 1 se 0 ? 2t +3 < 2, logo: d) Considere que x(t) possa ser escrita como a soma de um sinal par, xp(t), e um sinal ímpar, xi(t). Encontre os valores de t para os quais xp(t) = 0. Resposta: x(t) = xp(t)+xi(t) ? x(?t) = xp(?t)+xi(?t) Pela definição de funções pares e ímpares: x(?t) = xp(?t)+xi(?t) ? x(?t) = xp(t)?xi(t) Isolando o termo xp(t) em ambas as equações: xp(t) = (x(t)+x(?t)) Essa função pode ser plotada como: Pelo gráfico é fácil ver que xp(t) = 0 se |t| > 2 ou |t| = 1. Pela definição, x(t) = 0 para t =±2. Logo, |t|? 2 ou |t|= 1. 2. Avalie os sistemas abaixo com relação a linearidade e causalidade: a) y(t) = x(t ?2)+x(2?t) Resposta: * Linearidade: é linear. x1(t) ? y1(t) = x1(t ?2)+x1(2?t) x2(t) ? y2(t) = x2(t ?2)+x2(2?t) x3(t) =?x1(t)+?x2(t) ? y3(t) = x3(t ?2)+x3(2?t) y3(t) =?x1(t ?2)+?x2(t ?2)+?x1(2?t)+?x2(2?t) y3(t) =?(x1(t ?2)+x1(2?t))+?(x2(t ?2)+x2(2?t)) =?y1(t)+?y2(t) * Causalidade: não é causal. Para t = 0, y(0) = x(?2)+x(2). Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. b) y(t) = [cos(3t)]x2(t) Resposta: * Linearidade: não é linear x1(t) ? y1(t) = [cos(3t)]x12(t) x2(t) ? y2(t) = [cos(3t)]x22(t) x3(t) =?x1(t)+?x2(t) ? y3(t) = [cos(3t)]x32(t) y3(t) = [cos(3t)](?x1(t)+?x2(t))2) y3(t) = [cos(3t)][(?x1(t))2 +2??x1(t)x2(t)+(?x2(t))2] y3(t) =?2y1(t)+?2y2(t)+2[cos(3t)]??x1(t)x2(t) * Causalidade: é causal. c) y Resposta: * Linearidade: x x x3(t) =?x1(t)+?x2(t) ? y y y y3(t) =?y1(t)+?y2(t) * Causalidade: Para t . Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. =½ 0 , t < 0 d) y(t) x(t)+x(t ?2) , t ? 0 Resposta: * Linearidade: é linear. Primeira parte: y(t) = 0 ? é linear Segunda parte: y(t) = x(t)+x(t ?2) x1(t) ? y1(t) = x1(t)+x1(t ?2) x2(t) ? y2(t) = x2(t)+x2(t ?2) x3(t) =?x1(t)+?x2(t) ? y3(t) = x3(t)+x3(t ?2) y3(t) =?x1(t)+?x2(t)+?x1(t ?2)+?x2(t ?2) y3(t) =?(x1(t)+x1(t ?2))+?(x2(t)+x2(t ?2)) =?y1(t)+?y2(t) * Causalidade: é causal. e) y[n] = x[?n] Resposta: * Linearidade: x1[n] ? y1[n] = x1[?n] x2[n] ? y2[n] = x2[?n] x3[n] =?x1[n]+?x2[n] ? y3[n] = x3[?n] y3[n] =?x1[?n]+?x2[?n] =?y1[n]+?y2[n] * Causalidade: não é causal. Para n =?1, y[?1] = x[1]. Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. f) y[n] = x[n?2]?2x[n?8] Resposta: * Linearidade: é linear. x1[n] ? y1[n] = x1[n?2]?2x1[n?8] x2[n] ? y2[n] = x2[n?2]?2x2[n?8] x3[n] =?x1[n]+?x2[n] ? y3[n] = x3[n?2]?2x3[n?8] y3[n] =?x1[n?2]+?x2[n?2]?2?x1[n?8]?2?x2[n?8] y3[n] =?(x1[n?2]?2x1[n?8])+?(x2[n?2]?2x2[n?8]) =?y1[n]+?y2[n] * Causalidade: é causal. g) y[n] =n2x[n] Resposta: * Linearidade: é linear. x1[n] ? y1[n] =n2x1[n] x2[n] ? y2[n] =n2x2[n] x3[n] =?x1[n]+?x2[n] ? y3[n] =n2x3[n] y3[n] =n2(?x1[n]+?x2[n]) y3[n] =?n2x1[n]+?n2x2[n] =?y1[n]+?y2[n] * Causalidade:é causal. ? x[n] ? h) y[n]0 ? x[n+1] , n ? 1 , n = 0 , n ??1 Resposta: * Linearidade: é linear. Primeira parte: y[n] = x[n]. x1[n] ? y1[n] = x1[n] x2[n] ? y2[n] = x2[n] x3[n] =?x1[n]+?x2[n] ? y3[n] = x3[n] y3[n] =?x1[n]+?x2[n] =?y1[n]+?y2[n] Segunda parte: y[n] = 0 ? é linear. Terceira parte: y[n] = x[n+1]. x1[n] ? y1[n] = x1[n+1] x2[n] ? y2[n] = x2[n+1] x3[n] =?x1[n]+?x2[n] ? y3[n] = x3[n+1] y3[n] =?x1[n+1]+?x2[n+1] =?y1[n]+?y2[n] * Causalidade: não é causal. Para n =?1, y[?1] = x[0]. Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. i) y(t) = x(t/3) Resposta: * Linearidade: é linear. x1(t) ? y1(t) = x1(t/3) x2(t) ? y2(t) = x2(t/3) x3(t) =?x1(t)+?x2(t) ? y3(t) = x3(t/3) y3(t) =?x1(t/3)+?x2(t/3) =?y1(t)+?y2(t) * Causalidade: Para t = ?1, y(?1) = x(? ). Ou seja, ele utiliza amostras futuras. Portanto, não é causal. j) y[n] = x[4n+1]+n Resposta: * Linearidade: não é linear. x1[n] ? y1[n] = x1[4n+1]+n x2[n] ? y2[n] = x2[4n+1]+n x3[n] =?x1[n]+?x2[n] ? y3[n] = x3[4n+1]+n y3[n] =?x1[4n+1]+?x2[4n+1]+n =?x1[4n+1]+y2[n] * Causalidade: não é causal. 3. Considere um sistema LIT cuja resposta ao sinal de entrada x1(t) seja o sinal y1(t), mostrados na figura. Determine e esboce a resposta do sistema às entradas: a) x2(t) Resposta: Escrever x2(t) em função de x1(t) e usar a propriedade de linearidade para encontrar a saída: x2(t) = x1(t)?x1(t ?2) Portanto, y2(t) = y1(t)?y1(t ?2) b) x3(t) Resposta: Escrever x3(t) em função de x1(t) e usar a propriedade de linearidade para encontrar a saída: x3(t) = x1(t)+x1(t +1) Portanto, y3(t) = y1(t)+y1(t +1) 4. Umsinaldetempocontínuox(t)émostradonafiguraabaixo. Esboceecoloqueaescala para cada um dos seguintes sinais em função da resposta impulsional da figura dada. a) x(t ?1) b) x(2?t) c) x(2t +1) d) x(4?t/2) e) [x(t)+x(?t)]u(t) f) x(t)[?(t +3/2)??(t ?3/2)] Resposta: 5. UmsistemalineardetempocontínuoScomentradax(t)esaíday(t)possuiosseguintes pares entrada-saída: x(t) =ej2t ? y(t) =ej3t x(t) =e?j2t ? y(t) =e?j3t a) Se x1(t) =cos(2t), determine a saída correspondente a y1(t) para o sistema. b) Se x2(t) =cos(2(t ? )), determine a saída correspondente a y2(t) para o sistema. Reposta: a) Dadox(t) =ej2t ? y(t) =ej3t x(t) =e?j2t ? y(t) =e?j3t E o sistema sendo linear, = 1 j2t + ?j2t ? y1(t) = 1(ej3t +e?j3t) x1(t) (e e 2 2 e: x1(t) =cos(2t) ? y1(t) =cos(3t) b) Sabendo que x2(t) pode ser escrito como: = ? 1 = e?jej2t +eje?j2t x2(t) cos(2(t )) 2 2 Usando a propriedade da linearidade, podemos reescrever: x1(t) = 1 (e?jej2t +eje?j2t) ? y1(t) = 1 (e?jej3t +eje?j3t) =cos(3t ?1) 2 2 então: x1(t) =cos(2(t ?1/2)) ? y1(t) =cos(3t ?1) 6. Considere o sistema com realimentação: a) Esboce a saída quando x[n] =?[n] (Função impulso unitário) b) Esboce a saída quando x[n] =u[n] (Função Degrau unitário) c) Esboce a saída quando x[n] =R u[n] (Função Rampa) Resposta: a) e[n] = x[n]?y[n] e[n] = x[n]?e[n?1] y[n+1] = x[n]?y[n] para n = 0, x[n] = 1 e n 6= 0, x[n] = 0 tem-se: y[1] = x[0]?y[0] = 1?0 = 1 y[2] = x[1]?y[1] = 0?1 =?1 y[3] = x[2]?y[2] = 0?(?1) = 1... b) e[n] = x[n]?y[n] e[n] = x[n]?e[n?1] y[n+1] = x[n]?y[n] para n > 0, x[n] = 1 tem-se: y[1] = x[0]?y[0] = 1?0 = 1 y[2] = x[1]?y[1] = 1?1 = 0 y[3] = x[2]?y[2] = 1?0 = 1... c) e[n] = x[n]?y[n] e[n] = x[n]?e[n?1] y[n+1] = x[n]?y[n] para n > 0, x[n] =n tem-se: y[1] = x[0]?y[0] = 0?0 = 0 y[2] = x[1]?y[1] = 1?0 = 1 y[3] = x[2]?y[2] = 2?1 = 1 y[4] = x[3]?y[3] = 3?1 = 2 y[5] = x[4]?y[4] = 4?2 = 2 y[6] = x[5]?y[5] = 5?3 = 3... 7. Considere o sistema descrito pela seguinte equação de diferenças: y[n] =?x[n]+?x[n?1]?y[n?2] Considere que o sistema inicie em repouso, e que a entrada x[n] é o sinal degrau unitário u[n]: x[n] =u[n] =½ 01 , caso contrário, n ? 0 Encontre y[119]. Resposta: Realiza-se a iteração para resolver a equação de diferenças: n ?x[n]+?x[n?1] y[n] 0 ? ? 1 2 3 4 ?+? ?+? ?+? ? ?+? ? 0 ? 5 6 7 ... ?+? ?+? ?+? ... ?+? ? 0 ... 4k ? ? 4k +1 4k +2 4k +3 ... ?+? ?+? ?+? ... ?+? ? 0 ... Portanto, y[119] = y[4·29+3] = 0 8. Dada as funções de tempo discreto descritas a seguir (gráfico das funções) calcule as convoluções abaixo: a) y[n] =u[n]?u[n?3] n b) y c) y d) y[n] = x[n]?z[n] e) y[n] = x[n]? f [n] f) y[n] = w[n]?g[n] g) y[n] = z[n]?g[n] h) y[n] = f [n]?g[n] Resposta: a) y[n] =u[n]?u[n?3] u[n] = x1[n] e u[n?3] = x2[n] y ? k] Para n?3 < 0 ou n < 3 ? y[n] = 0 n = 3 ? y[3] = 1(1) = 1 n = 4 ? y[4] = 1(1)+1(1) = 2 ... n = p ? y[p] = (p ?2) ? y[n] = (n?2)u[n?2] n b) y[n] Para n n 1¢n ? c) y x x y[n] = P cos(?k)·2n?k k ???1, se k = ...,0,4,8,... = ?1, se k = ...,2,6,10,... ???0, caso contrário Considerando os termos válidos, tem-se: y[n] = P?k k=n?2 Substituindo e e y¢ 1¢ n?22 n y¢ d) y k] Para 4 0 ou =?? 0 ? n n = 1 ? y[n] = 2(1)+3(2) = 8 n = 2 ? y[n] = 1(1)+3(2) = 7 3 ?n < 6 ? y[n] = 2(6?n) n ? 6 ? y[n] = 0 e) y k] Para n+4 0 ou n > 4 ? y[n] = 0 f) y k] Para n+5 9 ? y[n] = 0 g) y k] Para =?? y y y y y y h) y k] Para n =?? y y y y y y[4] = 1+0?1?2?3 =?5;y[5] = 2+1+0?1?2 = 0;y[6] = 3+2+1?1 = 5 y[7] = 4+3+2+1 = 10;y[8] = 4+3+2+1 = 10;y[9] = 4+3+2 = 9 y[10] = 4+3 = 7;y[11] = 4 9. Dada as funções de tempo contínuo descritas a seguir (gráfico das funções) calcule as convoluções abaixo: a) y(t) =u(t +1)?u(t ?2) b) y(t) =e?2tu(t)?u(t +2) c) y(t) = cos(?t)(u(t +1)?u(t ?3))?u(t) d) y(t) = (t +2t2)(u(t +1)?u(t ?1))?2u(t +2) e) y(t) = x(t)?z(t) f) y(t) = z(t)?g(t) g) y(t) = z(t)? f (t) h) y(t) = f (t)?g(t) Resposta: x dk a) y(t) =u(t +?1)??u(t ?2) R? x1(t) =u(t +1) e x2(t) =u(t ?2) ? x1(k)x2(t ?k)dk Para t ?2