Questão cálculo

Professor Fábio F.

Respondeu há 3 anos

a)

Veja que

(X-1)² = x²- 2x + 1

Então

1 - (x-1)² = 1 - (x² - 2x + 1) = 1 - x² + 2x - 1 = 2x - x²

Sabendo disso, reescrevemos

y = 1 - sqrt(2x - x²) = 1 - sqrt[1-(x-1)²]

Subtraímos 1 em ambos os lados:

(y - 1) = sqrt[1 - (x - 1)²]

Elevamos ao quadrado:

(y - 1)² = 1- (x - 1)²

E reorganizamos:

(x - 1)² + (y - 1)² = 1

Portanto a circunferência que contém o grafico de f tem raio r=1 e é centralizada em (1,1).

b)

Para a obtenção do domínio observe que precisamos de um radicando não negativo, então (2x-x²) tem que ser maior ou igual a 0

Acompanhe o raciocínio:

2x-x² ? 0

x(2-x) ? 0

Agora vemos mais facilmente que temos 3 casos:

Se x < 0  então (2-x) > 0, portanto x(2-x) será negativo

Se x>2  então (2-x) < 0 e, novamente, x(2-x) será negativo

Assim, precisamos que x esteja entre 0 e 2. 

Dom(f) = [0,2]

Para o esboço de f é importante notar que se trata de uma semi-circunferência de raio 1, centrada em (1,1). Passando pelos pontos: (0,1) ; (1,0) ; (2,1), por exemplo.

Se g(x) = f(|x|) teremos um domínio mais abrangente, uma vez que se torna possíver a utilização de valores entre 0 e -2 para a incógnita x.

Veja que g(-2) = f(|-2|) = f(2) = 1 

Assim, o gráfico de g será formado por duas semi-circunferências simétricas em relação ao eixo y. O ponto (0,1) será comum ás duas, uma será centrada em (-1,-1), a outra em (1,1) e ambas terão raio r=1.

Desta maneira podemos concluir que Dom(g) = [-2,2] 

Im(f) = Im(g) = [0,1]