Deseja-se produzir uma lata cilíndrica (com tampa) usando-se 500? cm²de uma certa lâmina metálica. Encontre as dimensões da lata cilíndrica de tal modo que o volume da lata seja maximizado.
Apresente todos os detalhes dos cálculos. Use a técnica vista em aula ( testes da 1a e 2a derivadas). Seu desenvolvimento deve ser completo, claro e objetivo
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A área superficial do cilindro deve ser igual a 500 cm² e é composta pelas duas tampas e pela face lateral. A área das tampas é igual a Ap=?*R² e a área da face lateral é igual a Af=2*?*R*h, em que R e h são o raio e a altura do cilindro.
A área total é: At = 2*Ap + Af = 2*?*R²+2*?*R*h (1)
O volume do cilindro é o produto da área da tampa pela altura: Vt = ?*R²*h (2)
Como sabemos que a área deve ser igual a 500 cm², temos que:
500 = 2*?*R²+2*?*R*h (3)
De (2), obtemos que R*h=Vt/(R*?). Substituindo em (3):
500 = 2*?*R² + 2*?*Vt/(R*?)
500 = 2*?*R² + 2*Vt/R
Multiplicando os dois lados por R/2:
250*R = ?*R³ + Vt
Vt = 250*R - ?*R³ (4)
Para maximizar o volume, devemos encontrar um máximo da equação (4). Para isso, tomamos a derivada dVt/dR e igualamos a zero:
dVt/dR = 250 - 3*?*R²
0 = 250 - 3*?*R²
R = ?(250/3?) = ± 5.15 cm
Como o valor R diz respeito ao raio de um sólido, seu valor não pode ser negativo, de forma que:
R = 5.15 cm
Substituímos o valor de R em (3):
500 = 2*?*(5.15)²+2*?*(5.15)*h
Resolvendo a equação acima, encontramos h = 10.30 cm.
Portanto, as dimensões da lata cilindrica que maximizam seu volume são: R = 5.15 cm e h = 10.30 cm
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