Questão de cálculo

Matemática Ensino Superior

Deseja-se produzir uma lata cilíndrica (com tampa) usando-se 500? cm²de uma certa lâmina metálica. Encontre as dimensões da lata cilíndrica de tal modo que o volume da lata seja maximizado.

Apresente todos os detalhes dos cálculos. Use a técnica vista em aula ( testes da 1a e 2a derivadas). Seu desenvolvimento deve ser completo, claro e objetivo

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Vanessa perguntou há 3 anos

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Professor Luiz N.
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Respondeu há 3 anos

A área superficial do cilindro deve ser igual a 500 cm² e é composta pelas duas tampas e pela face lateral. A área das tampas é igual a Ap=?*R² e a área da face lateral é igual a Af=2*?*R*h, em que R e h são o raio e a altura do cilindro.

A área total é: At = 2*Ap + Af = 2*?*R²+2*?*R*h      (1)

O volume do cilindro é o produto da área da tampa pela altura: Vt = ?*R²*h      (2)

Como sabemos que a área deve ser igual a 500 cm², temos que:

500 = 2*?*R²+2*?*R*h      (3)

De (2), obtemos que R*h=Vt/(R*?). Substituindo em (3):

500 = 2*?*R² + 2*?*Vt/(R*?)

500 = 2*?*R² + 2*Vt/R

Multiplicando os dois lados por R/2:

250*R = ?*R³ + Vt

Vt = 250*R - ?*R³      (4)

Para maximizar o volume, devemos encontrar um máximo da equação (4). Para isso, tomamos a derivada dVt/dR e igualamos a zero:

dVt/dR = 250 - 3*?*R²

0 = 250 - 3*?*R²

R = ?(250/3?) = ± 5.15 cm

Como o valor R diz respeito ao raio de um sólido, seu valor não pode ser negativo, de forma que:

R = 5.15 cm

Substituímos o valor de R em (3):

500 = 2*?*(5.15)²+2*?*(5.15)*h

Resolvendo a equação acima, encontramos h = 10.30 cm.

Portanto, as dimensões da lata cilindrica que maximizam seu volume são: R = 5.15 cm e h = 10.30 cm

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