Questão de conjuntos

Professor Pedro J.

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Respondeu há 3 anos

Perceba primeiro que o valor escolhido para k vai determinar, no grupo Ak, qual vai ser o menor elemento do conjunto. Por exemplo, se eu tomar um k=1/2, para que ocorra 1/n<k, temos:

1/n < 1/2   ->   2/n < 1   ->   2 < n

Então o menor elemento do conjunto Ak, onde k=1/2, é 3 (repare que o sinal é de menor e não menor ou igual e na definicão do conjunto, temos n é um número natural), e assim Ak={3,4,5,...}.

Entendido como o valor de k altera o conjunto, podemos analisar as alternativas:

a) Uma informacão importante de ressaltar é que o conjunto dos números naturais (N) é infinito (e portanto o subconjunto Ak, formado polos naturais também é infinito). Então não importa qual vai ser o menor número do conjunto Ak e Aj, se a gente olhar "de trás para frente" os conjuntos Ak e Aj sempre terão uma infinidade de elementos em comum, portanto é impossível termos Ak Aj = .

b) Tome k e j maiores do que 1. Perceba que para qualquer k,j>1 temos que Ak=Aj=N (pois 1/n é sempre menor do que 1, uma vez que n são numeros naturais).

    É facil verificar que Ak - Aj = 0 para quaisquer k,j>1.

c) Ak U Aj   sempre será verade, pois os conjuntos Ak e Aj nunca serão vazios.

d) Ak   e Aj  ; pelo mesmo motivo que a letra "c".

e) Ak Aj sempre será verdade para k>j (pois quanto menor é o valor de k, maior é o menor elemento de Ak) ou para k=j.

    Exemplo: para k=1/2 vimos que Ak={3,4,5,6,...}

                 E se tomarmos um j=1/3, teremos 1/n<1/3 -> 3/n<1 -> 3<n, então Aj={4,5,6,7,...}

                 Assim, Ak Aj para k=1/2 e j=1/3.