No capítulo 5 - O beco diagonal, do livro Harry Potter e a pedra filosofal, Harry é levado ao cofre 687 de Gringotes, o banco dos bruxos, em seu 11º aniversário e descobre que tem uma pequena fortuna. Considere que naquele dia a fortuna encontrada por Harry correspondia a 50.625 galeões e que a renda anual em Gringotes era, em média, 5% ao ano.
a) Quanto tempo leva para que o valor da fortuna seja igual a 205.942,50 galeões? Use: log2 = 0,301, log3 = 0,477, log7 = 0,845 e log113 = 2.053
b) Sabendo que Harry Potter nasceu em 31 de julho de 1980, em que dia, mês e ano a fortuna atingiu o valor acima?
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Boa noite, Lucas.
a) Inicialmente Harry Potter tinha 50625 galeões, com um juros de 5% ao ano durante t anos, temos: 50625 . 1,05t.
Obs: você pode usar a fórmula para juros composto : M = C . (1 + i)t onde C (capital) = 50625 galeões, (taxa de juros) = 5% = 0,05 e M (montante) é o valor total de galeões que ele terá após t anos.
Após t anos ele terá 205942,5 galeões, sendo assim: 50625 . 1,05t = 205942,5 <--------> 1,05t = 205942,5/50625 <--------> 1,05t = 4068
Faturando 4068 = 22 . 32 . 113, transformando 1,05 em 105/100 e fatorando 105 =3 . 5. 7, temos:
(3. 5. 7/100)t = 22 . 32 . 113
Aplicando logaritmo em ambos os lados da equação:
log (3 . 5 . 7/100)t = log (22 . 32 . 11)
Aplicando as propriedades de logaritmos:
- potência de logaritmando: logc ab = b . logca
- produto de logaritmandos: logc (a.b) = logca + logcb
- divisão de logaritmandos: logc(a/b) = logca - logcb
t . (log (3 . 5 . 7) - log100) = 2. log2 + 2. log3 + log 113 <-----> t(log3 + log5 + log 7 - log100) = 2 . 0,301 + 2 . 0,477 + 2,053
Obs: log5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699
t . (0,477 + 0,699 + 0,845 - 2) = 0,602 + 0,954 + 2,053 <--------> 0,021t = 3,609 <-------> t = 3,609/0,021 <------> t = 171, 857 anos aproximadamente
b) 171, 857 anos = 171 anos + 0,857 anos = 171 anos + 0,857 . 12 meses = 171 anos + 10,2857 meses = 171anos + 10 meses + 0,285 meses = 171 anos + 10 meses + 0,285 . 30 dias = 171 anos + 10 meses + 8 dias
Portanto:
31 de julho de 1980 + 171 anos + 10meses + 8 dias = 8 de junho de 2151.
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Olá, Lucas!!
Como vai? Gosto da literatura de J K Rowling e de Harry Potter!
O problema a ser resolvido relaciona-se com o cálculo do tempo necessário para alcançar o montante indicado. Neste caso utiliza-se a fórmula de juros compostos.
Você já tem uma excelente resposta para a resolução deste exercício, bem explicada e detalhada por outro professor.
Saudações
Bons estudos!!
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