Questão sobre equação diferencial

Matemática Resolução de problemas

Resolva a equação diferencial: dy/dx=2x^3/3y^2 - e^(2y)

 

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https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20200212234306AAoG6SI

 

 

 

 

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Ellen perguntou há 4 anos

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Professor Lucas G.
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Respondeu há 4 anos
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A imagem deixa mais claro qual é a equação diferencial: dy/dx = 2x^3 / (3y^2 - e^{2y}). 
É uma EDO separável.

Ela equivale a 

(d/dx) [ y^3 - e^{2y}/2 ] = 2x^3,  donde integrando num intervalo (x0 , x) incluso no domínio de uma solução, obtemos 

integral^x_{x0} (d/dt) [y(t)³ - e2y(t)/2] dt = 2(x^4 - x0^4]/4, que pelo teorema fundamental do cálculo nos dá

y(x)³ - e2y(x)/2 - [y(x0)³ - e2y(x0)/2] = x^4/2 - x0^4/2, ou

y³ - e2y/2 = x^4/2 + C,  C constante. 

A função t |-> t³ - e^{2t}/2 não admite inversa descrita por uma expressão em termos de funções elementares nos intervalos em que é invertível, então paramos na última equação.


Obs.: Chega-se na segunda equação apresentada acima calculando-se a integral indefinida "integral (3y^2 - e^{2y}) dy", resultando no que está entre colchetes. 

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Professor Arquimedes M.
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Respondeu há 4 anos

Ah!

Eu não tinha visto que os termos em y estão totalmente no denominador!

Sendo assim é uma EDO separável como o colega falou!

Obrigado pela atenção!

DEUS abençoe!

Att,

 

Arquimedes

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