Resolução de limites

Professor Pedro B.

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Respondeu há 3 anos

Olá Marcela, bom dia. O limite da função

(x^2-5x+4)/(|x-1|), 

x>1

será obtido analisando o 1 pela esquerda e direita:

Pela direita, consideraremos o (x-1)>0. Ficando desta forma:

((x-1)*(x-4))/(x-1))=(x-4). Resultando em -3.

Quando analisamos o 1 pela esquerda teremos o x-1<0, com isto faremos a solução da seguinte forma:

((x-1)*(x-4))/(-(x-1))=((x-4)/-1)= -x+4, resultando em 3.

Com estas considerações chegamos à conclusão que o seu limite será divergente. Tendendo a 3 pela esquerda e a -3 pela direita.

Espero ter sido esclarecedor, obrigado e até mais. Professor Pedro.

Professor Fábio F.

Respondeu há 3 anos

Calcule o limite, com x tendendo a 1, da função f(x) = (x² - 5x + 4) / |x – 1|

Como não havia especificação na sua digitação, eu assumi que o sinal entre 5x e 4 era de soma, porque faz mais sentido na formulação de um problema.

Veja que teremos o caso 0/0 se substituirmos o 1 na função. 

Por conta disso vamos tentar usar alguma ferramenta de manipulação para modificar o problema.

Veja que (x² - 5x + 4) pode ser reescrito como produto de dois fatores. 

para que surja x² precisamos de (x + a)*(x + b)

os outros números, a e b, precisam satisfazer a resolução da distributiva.

(x + a)*(x + b) = x² + ax + bx + ab = x² + (a+b)*x + ab

comparando as expressões teremos

a+b = -5  e  a*b = 4, assim, concluímos que

a = -1 e b = -4 (ou vice versa)

portanto f(x) = [(x-1)*(x-4)] / |x-1|

veja que se x está se aproximando de 1 por valores maiores do que 1 (pela direita), podemos "cancelar" (x-1) no numerador e no denominador, portanto esse limite se assemelha ao limite de g(x) = x-4, com x tendendo a 1 pela direita. Esse limite é

L = -3

Mas se x se aproxima de 1 pela esquerda (por valores negativos)

|x-1| é sempre positivo, mas (x-1) é sempre negativo. 

Assim, teremos que levar isso em consideração para o "cancelamento",

nesse caso, o limite se assemelha ao da função: 

g'(x) = - (x-4), com x tendendo a 1 pela esquerda

 esse limite é 

L = 3

Como os limites laterais são diferentes, dizemos que não existe o limite da função f para x --> 1

Professor Pedro B.

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Respondeu há 3 anos

Ola tudo bem? 

Bom para começar, observe que o numerador da função dada pode ser reescrito como:

x²-5x+4 = x² - x -4x +4 = 

x² - x -4(x - 1) = x(x -1) - 4(x - 1) = 

(x - 4)(x - 1).

Agora, observe que como o denominador é o valor absoluto de uma função, devemos analisar seu sinao em cada intervalo, em outras palavras, abrir este valor absoluto. Para tanto, note que |x - 1| = x - 1, se x maior ou igual a 1 e |x - 1| = -x + 1, se x menor que 1, isto segue diretamente da definição de valor absoluto. Mas note que o comportamento dessa função é "problemático" justamente no ponto onde queremos calcular o limite e isso facilita as coisas. Pois basta calcularmos os limites laterais observando o valor de x e utilizando a expressao adequada para o denominador da f. Pois bem, quando x tende a 1 pela esquerda, significa que x é menor ou igual a 1, assim, o valor absoluto |x-1| = -x + 1, assim da expressão da f, podemos escrever:

f(x) = (x²-5x+4)/(-x+1) = [(x-4)(x-1)]/-(x-1) = -(x-4)

Lembre-se que esta expressao é para valores de x menores que 1. Assim o limite lateral à esquerda fica facil de calcular, basta calcular o limite quando x tende a 1 por valores menores que 1 da expressao -(x-4), que, como é um polinômio, resulta em -(1-4) = 3.

Fazendo um raciocínio análogo para x tendendo a 1 por valores, agora, maiores que 1, temos que |x - 1| = x - 1. Assim, reescrevendo a expressão da f, bem de forma semelhante ao que foi feito anteriormente, resulta que para valores de x maiores que 1, f(x) = (x-4). Agora, calculando o limite à direita quando x se aproxima de 1 dessa expressão, que é polinomial, resulta em (1-4) = -3.

Dessa forma, concluímos que os limites laterais de f são diferentes e por conseguinte, o limite não existe.

Espero ter ajudado.